Wahrscheinlichkeitsrechnung IV

19.05.2012, 19:41

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlichkeitsrechnung IV

Hallo

Wink

Aufgabe d)
Wir sollen uns in der Uni nebenbei mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen. In der Schule habe ich es mal behandelt. Aber das meiste habe ich vergessen. Drum brauche ich eure Hilfe.

Aufgabe:
Wir haben einen vierseitigen (fairen) Würfel. Die Augenzahlen sind also entsprechend 1 - 4. Es werden 3 solcher Würfel gleichzeitig geworfen. Was ist der Erwartungswert?

Ich habe von diesem Erwartungswert vorher nie was gehört, aber ich habe mir den Artikel in Wikipedia durchgelesen und ein Video angeschaut. Zur Lösung habe ich mir folgendes überlegt:
Ich brauch zur Berechnung folgende Formel
$\begin{eqnarray*} E(x) = x_1 \cdot P(x = x_1) + .... x_n \cdot P(X = x_n) \end{eqnarray*}$

Ich müsste mir doch eine Tabelle erstellen mit 2 Spalten. In die linke Spalte kommt Augenzahl (bzw Summe der Augenzahlen der drei Würfel) und in die rechte die Wahrscheinlichkeit, dass diese Summe vorkommt. Für die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ setze ich dann die Summe ein und für $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten.

Ist das ein korrekter Ansatz?

19.05.2012, 20:27

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Der Ansatz ist korrekt, mach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2012, 20:58

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Nun, die möglichen Augensummen erstrecken sich von 3 - 12.
Ich überlege gerade wie ich die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Summe errechne. Beispielsweise ich habe folgende Kombination: Summe = 8
Würfel 1 zeigt 1
Würfel 2 zeigt 3
Würfel 4 zeigt 4

Frage: Ergibt sich die Wahrscheinlichkeit durch:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac 1 4 \cdot \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac 1 4 \cdot \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

bzw allgemein:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac 1 4 \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac 1 4 \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

??
(wobei n Anzahl der Würfel und k Anzahl Würfel mit gleicher Augenzahl)

19.05.2012, 21:14

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Nein, so funktioniert das nicht.
Die Anzahl der Kombinationen ist eben nicht korrekt. Du hast, wenn du drei verschiedene Zahlen hast, genau 3! Möglichkeiten, diese miteinander zu vertauschen.
Wenn Zahlen doppelt oder dreifach vorkommen sieht die Rechnung natürlich anders aus.

19.05.2012, 21:29

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Aber dass es 81 Kombinationen gibt (3^4) ist doch richtig oder?
d.h. Ich müsste mir 81 Kombinationen ansehen und die jeweilige Wahrscheinlichkeit errechnen? :O
... ok abzüglich der gleichen Kombinationen

19.05.2012, 21:37

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV

Zitat:

Original von Esto
Aber dass es 81 Kombinationen gibt (3^4) ist doch richtig oder?

Nein, immer noch nicht. Es wird auch nicht richtig werden.
Für die erste Ziffer hast du 3 Möglichkeiten, für die zweite 2, für die dritte eine, also 3!, wie ich schon sagte.

Zitat:

Original von Esto
d.h. Ich müsste mir 81 Kombinationen ansehen und die jeweilige Wahrscheinlichkeit errechnen? :O
... ok abzüglich der gleichen Kombinationen

Ja

Anzeige

19.05.2012, 21:43

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Nein, ich meinte insgesamt gibt es 81 Kombinationen.

19.05.2012, 21:44

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Nein, 4^3

19.05.2012, 22:03

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
ok stimmt, habe es vertauscht. Jedenfalls komme ich dann mit deinen Hinweisen auf folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} E(x) = 3 \cdot \frac 1 {64} + 4 \cdot \frac 3 {64} + 5 \cdot \frac 6 {64} + 6 \cdot \frac {10} {64} + 7 \cdot \frac {12} {64} + 8 \cdot \frac {12} {64} + 9 \cdot \frac {10} {64} + 10 \cdot \frac 6 {64} + 11 \cdot \frac 3 {64} + 12 \cdot \frac 1 {64} = 7.5 \end{eqnarray*}$

wobei ich mir alle möglichen Kombinationen aufgeschrieben habe. Bei denen wo 3 unterschiedliche Augenzahlen sind mit 3! multipliziert und bei denen mit 2 gleichen Augenzahlen mit 3 multipliziert und bei 3 gleichen mit 1 multipliziert. Und jeweils mit 1/64 multipliziert.

Beispiel für die Summe 5 gibt es die Kombinationen
(1 1 3) und (2 2 1)
das macht dann $\begin{eqnarray*} 3 \cdot \frac 1 {64} + 3 \cdot \frac 1 {64} = \frac 6 {64} \end{eqnarray*}$

19.05.2012, 22:14

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Sieht gut aus!

19.05.2012, 22:22

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Dankeschöön ! Ick freu mir Big Laugh

Big Laugh

Nun soll ich den Erwartungswert noch für beliebiges n zeigen. Kann ich das dann so machen:
$\begin{eqnarray*} E(x) = \sum \limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} P(X = x_i) \end{eqnarray*}$

Ah ne, ich glaube das ist falsch Es sah erst so aus als wäre die Koeffizienten vom Pascalschen Dreieck...

19.05.2012, 23:33

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
wäre nett, wenn sich noch einer melden könnte. Ich finde keinen Ansatz für allgemeines n unglücklich

unglücklich

20.05.2012, 10:48

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Meinst du für einen allgemeinen n-seitigen Würfel? Die Formel passt nicht zu dem was du für einen 4-seitigen Würfel berechnet hast. Ich sehe aber auch gerade keinen Ansatz für allgemeines n.

20.05.2012, 11:20

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Ich nehme an, es geht darum, dass ein vierseitiger Würfel n mal geworfen wird und der Erwartungswert für die Summe der Augenzahlen gesucht wird. Sei $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable für den Wurf Nummer i und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable für die Summe der Augenzahlen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} Y = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ und das geht leicht über die Linearität des Erwartungswertes. Es ist unnötig, die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Summenzahlen zu bestimmen.

20.05.2012, 12:04

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV

Zitat:

Original von Huggy
Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ und das geht leicht über die Linearität des Erwartungswertes. Es ist unnötig, die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Summenzahlen zu bestimmen.

In der Tat... Insbesondere sieht man auch, dass man das Ergebnis

Zitat:

Original von Esto
$\begin{eqnarray*} E(x) = 3 \cdot \frac 1 {64} + 4 \cdot \frac 3 {64} + 5 \cdot \frac 6 {64} + 6 \cdot \frac {10} {64} + 7 \cdot \frac {12} {64} + 8 \cdot \frac {12} {64} + 9 \cdot \frac {10} {64} + 10 \cdot \frac 6 {64} + 11 \cdot \frac 3 {64} + 12 \cdot \frac 1 {64} = 7.5 \end{eqnarray*}$

wobei ich mir alle möglichen Kombinationen aufgeschrieben habe. Bei denen wo 3 unterschiedliche Augenzahlen sind mit 3! multipliziert und bei denen mit 2 gleichen Augenzahlen mit 3 multipliziert und bei 3 gleichen mit 1 multipliziert. Und jeweils mit 1/64 multipliziert.

auch im Kopf als 3*(1+4)/2 hätte erhalten können... Big Laugh

Big Laugh

20.05.2012, 12:13

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Hallo, ja sorry ich meinte n Würfel.

$\begin{eqnarray*} Y = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

Ich verstehe diese Summe nicht ganz. verwirrt

verwirrt

Die Zufallsvariable X liegt ja dann im Bereich von 1 -4 oder?

Wie kommt man mit dieser Summe zu 3*(4+1)/2. ??

20.05.2012, 12:22

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
$\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet das Ergebnis des i-ten Wurfes.
Wenn du nur einmal würfelst dann hast du
$\begin{eqnarray*} E(X_1)=\frac{4+1}{2}=2.5 \end{eqnarray*}$
wie du auch leicht nachrechnen kannst.
Für n=3 (also 3 Würfe) hast du dann die Summe über die ersten drei Würfe:
$\begin{eqnarray*} Y_3 = \sum_{i=1}^3 X_i \end{eqnarray*}$
Somit ist
$\begin{eqnarray*} E(Y_3)=\sum_{i=1}^3 E(X_i)=3\cdot 2.5 = 7.5 \end{eqnarray*}$
was sich auch mit deinem Ergebnis deckt.

Analoges Vorgehen für beliebiges n.

Was genau verstehst du an der Summe nicht? verwirrt

verwirrt

Es ist einfach die Summe über die Einzelergebnisse.

20.05.2012, 12:34

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
ok, dann habe ich es verstanden. z.B. wäre
$\begin{eqnarray*} E(X_2) = 2 \cdot (1+2+3+4) \cdot \frac 1 8 = \frac {20} 8 = 2.5 \end{eqnarray*}$
und das kann ich dann wegen der Linearität des Erwartungswertes einfach summieren bis n

aber wie kommt ihr auf diesen komischen Bruch $\begin{eqnarray*} \frac {4+ 1} 2 \end{eqnarray*}$

Ne ne moment .. .iwas habe ich noch nicht verstanden

20.05.2012, 12:50

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Nochmal ganz von Anfang an: Du würfelst einmal: Welchen Erwartungswert hast du?
Wenn du das einmal nachrechnen würdest dann kommst du auch auf das selbe Ergebnis wie wir.

Und nein, dein $\begin{eqnarray*} E(X_2) \end{eqnarray*}$ ist falsch. Bitte rechne es selbst nach.

20.05.2012, 12:56

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV

Zitat:

Original von Math1986
Nochmal ganz von Anfang an: Du würfelst einmal: Welchen Erwartungswert hast du?

ok, ich setze es einfach in die Formel ein:

$\begin{eqnarray*} E(X_1) = 1 \cdot P(X_1 = 1) + 2 \cdot P(X_1=2) + 3 \cdot P(X_1=3) + 4 \cdot P(X_1=4) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} P(X_1= x_i) = \frac 1 4 \end{eqnarray*}$
und daraus folgt: $\begin{eqnarray*} = \frac {1 + 2 + 3+ 4} 4 = \frac {10} 4 = 2.5 \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 13:03

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Na bitte, da hast du doch den Wert von dem wir reden!
Analog nun für n Würfel.

20.05.2012, 13:07

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Also setze ich für jedes i eine natürliche Zahl (i-ter Wurf) ein und der Rest der Gleichung bleibt gleich ?

Und das summerie ich dann auf bis n und erhalte n*2.5.
also z.B : $\begin{eqnarray*} E(X_5) = 1 \cdot P(X_5 = 1) + 2 \cdot P(X_5=2) + 3 \cdot P(X_5=3) + 4 \cdot P(X_5=4) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} E(X_5) = \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 13:08

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Ja...

20.05.2012, 13:11

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Alles klar. Danke Freude

Freude

20.05.2012, 13:13

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
Was die Berechnung des Mittelwerts als (1+4)/2 betrifft ist das im wesentlichen der Trick des 10-jährigen Gauß... Angenommen, ich möchte den Mittelwert der Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 berechnen... Ich könnte dann - so wie du es gemacht hast - rechnen

(1+2+3+...+9+10)/10 =5.5

oder eben etwas cleverer

((1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6))/10 = 5*(1+10)/10=(1+10)/2

Das kann man natürlich sofort verallgemeinern auf allgemeine arithmetische Folgen, aber das überlass ich dann dir... Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2012, 13:20

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung IV
ups wie peinlich - ich kenne die Gaußsche Summenformel - und ich komm nicht drauf unglücklich

unglücklich

Dankeschön smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »