Steigung bestimmen?

20.05.2012, 17:43

Shodaime

Steigung bestimmen?

Kann mir jemand einen Tipp geben was ich bei folgender Aufgabe machen muss?

Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{a}{2c} \left(e^{cx} + e^{-cx}\right) \end{eqnarray*}$

d) Könnte ein Stuntman das Seil von der Mitte der Brücke bis zur Spitze des Turmes befahren, wenn sein Motorrad eine maximale Steigung von 20% schafft?

lg

20.05.2012, 18:05

tigerbine

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RE: Steigung bestimmen?
Setzen wir mal a=c=1.

Du kannst doch sicher schon ableiten. Welche Ableitung steht in enger Verbindung mit dem Begriff "Steigung"?

20.05.2012, 18:28

Shodaime

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Die 1. Ableitung, jedoch verstehe ich nicht was ich mit den vorhanden Informationen machen soll. Extrema und den Tiefpunkt habe ich in b) berechnet, aber wie das mit der Steigung geht weiß ich nicht so recht.

1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} * \left(e^{cx} - e^{-cx}\right) \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 18:32

tigerbine

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Ich bleibe mal in meinem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \left(e^{x} + e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} \left(e^{x} - e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

Wie schaut denn die erste Ableitung so aus...?

Was bedeutet denn nun "Steigung von 20%"? Welchen Wert darf die Ableitung auf dem von dir noch zu nennenden Intervall nicht überschreiten?

Hinweis: 100% Steigung <=> 45° <=> m=1

20.05.2012, 18:48

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} f(x) = cosh(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = sinh(x) \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung hat einen Wendepunkt P(0/0)!?! Die Ausgangsfunktion hingegen sieht aus wie eine Hängebrücke.

Steigung von 20% heißt mehr schafft das Motorrad nicht und es geht wahrscheinlich um einen Punkt wo die Steigung am größten ist (Wendepunkt)!?!

20.05.2012, 18:51

tigerbine

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Warum sollte die Steigung in eine, Wendepunkt am größten sein?

Wenn sie am "größten" ist, und die erste Ableitung etwas über die Steigung aussagt, dann interessiert wohl das Maximum der Steigung auf einem von dir noch zu nennenden Intervall. Augenzwinkern

Zitat:

Steigung von 20% heißt mehr schafft das Motorrad nicht

Nein, der Auftrag ist klar: Übersetze die 20% in einen Wert, den die Ableitung nicht überschreiten darf. Augenzwinkern

Ist ja nicht so schwer... Augenzwinkern

21.05.2012, 00:11

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} 1/5 = 0,2 \end{eqnarray*}$

Und was bringt mir das nun?

21.05.2012, 11:29

Steffen Bühler

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Prüfe, ob $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \cdot \left(e^{cx} - e^{-cx}\right) > 0,2 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 13:16

Shodaime

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Für a und c die Werte aus Aufgabe c) wahrscheinlich einfügen? Dort stehen die Aufhängepunkte für das Seil bei P(-100/30) und P(100/30).

Für x auch etwas einsetzen oder nach x auflösen?

21.05.2012, 13:23

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Shodaime
Für a und c die Werte aus Aufgabe c) wahrscheinlich einfügen?

Richtig.

Zitat:

Original von Shodaime
Dort stehen die Aufhängepunkte für das Seil bei P(-100/30) und P(100/30).
Für x auch etwas einsetzen oder nach x auflösen?

Beides geht. Wenn Du Dir die Funktion ansiehst, kannst Du die Stelle mit der maximalen Steigung ja direkt bestimmen. Oder Du rechnest das x aus, bei dem die 0,2 auftritt, und schaust, wo's liegt.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 13:45

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} 0,2 = \frac{0,123895}{2} \cdot \left(e^{0,024779x} - e^{-0,024779x}\right) \end{eqnarray*}$

so? Und dann auflösen!?

21.05.2012, 13:48

Steffen Bühler

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Ja, wenn Du meinen zweiten vorgeschlagenen Weg nimmst. Der andere ist natürlich etwas einfacher.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 14:34

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} 0,2 = 0,0619475 \cdot \left(e^{0,024779x} - e^{-0,024779x}\right) | ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln0,2 = ln0,0619475 \cdot 0,024779x - (-0,024779x) \end{eqnarray*}$

korrekt oder falsch?

21.05.2012, 14:50

Steffen Bühler

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Leider falsch. Versuch's vielleicht doch besser mit meinem ersten Vorschlag.

Viele Grüße
Steffen

EDIT: erstes EDIT war falsch... wieder gelöscht.

21.05.2012, 14:59

Shodaime

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Ich würde aber gerne beide Rechenwege wissen, damit ich das nachvollziehen kann. Was kann ich denn außer ln machen? Wieso ist das in dieser Situation nicht angebracht wenn ich doch das e weghaben möchte?

Zum ersten:

Einfach die beiden angegebenen Punkte nehmen y1 - y2 und x1 - x2?

21.05.2012, 15:12

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Shodaime
Ich würde aber gerne beide Rechenwege wissen, damit ich das nachvollziehen kann.

$\begin{eqnarray*} 0,2 = 0,0619475 \cdot \left(e^{0,024779x} - e^{-0,024779x}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \frac {0,2}{0,0619475} = e^{0,024779x} - e^{-0,024779x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to e^{0,024779x} - \frac 1 {e^{0,024779x}} - \frac {0,2}{0,0619475} = 0 \end{eqnarray*}$

Substitution $\begin{eqnarray*} z = e^{0,024779x} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \to z - \frac 1 z - \frac {0,2}{0,0619475} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to z^2 - \frac {0,2 }{0,0619475} \cdot z - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun pq-Formel und rücksubstituieren.

Zitat:

Original von Shodaime
Zum ersten:
Einfach die beiden angegebenen Punkte nehmen y1 - y2 und x1 - x2?

Da kommst Du auf eine Steigung Null. Nein, stell Dir vor, Du fährst mit Deinem Mopped in diesem Gebilde. Wo ist es denn am steilsten?

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 15:29

Shodaime

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Shodaime
Ich würde aber gerne beide Rechenwege wissen, damit ich das nachvollziehen kann.

$\begin{eqnarray*} 0,2 = 0,0619475 \cdot \left(e^{0,024779x} - e^{-0,024779x}\right) | /0,0619475 !? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \frac {0,2}{0,0619475} = e^{0,024779x} - e^{-0,024779x} |- \frac {0,2}{0,0619475} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to e^{0,024779x} - \frac 1 {e^{0,024779x}} - \frac {0,2}{0,0619475} = 0 \end{eqnarray*}$

Substitution $\begin{eqnarray*} z = e^{0,024779x} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \to z - \frac 1 z - \frac {0,2}{0,0619475} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to z^2 - \frac {0,2 }{0,0619475} \cdot z - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun pq-Formel und rücksubstituieren.

$\begin{eqnarray*} X_{1/2} = -(-)\frac{3,2285}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{3,2285}{2}\right)² + 1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Shodaime
Zum ersten:
Einfach die beiden angegebenen Punkte nehmen y1 - y2 und x1 - x2?

Da kommst Du auf eine Steigung Null. Nein, stell Dir vor, Du fährst mit Deinem Mopped in diesem Gebilde. Wo ist es denn am steilsten?

Viele Grüße
Steffen

Im Hochpunkt.

21.05.2012, 15:33

Steffen Bühler

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Falls Du damit den höchsten Punkt des Gebildes meinst: ja. Einen Hochpunkt im eigentlichen Sinne hat diese Funktion ja nicht.

Da Du die erste Ableitung kennst, kannst Du ja die Steigung dort direkt ausrechnen.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 15:59

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} X_{1/2} = -(-)\frac{3,2285}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{3,2285}{2}\right)² + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{1/2} = 1,61425 \pm \sqrt{2,6058 + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{1/2} = 1,61425 \pm 1,8989 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{1} = 3,51315...X_{2} = -0,28465 \end{eqnarray*}$

21.05.2012, 16:06

Steffen Bühler

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Ah, jetzt doch wieder Variante 2. Ok, und jetzt, wie gesagt, rücksubstituieren und x ausrechnen.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 16:15

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} 3,51315 = e^{0,024779x} | ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,28465 = e^{-0,024779x} | ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,2565 = 0,024779x | /0,024779 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,0563 = -0,024779x | /-0,024779 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{1} = 50,7083 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{2} = 2,2721 \end{eqnarray*}$

21.05.2012, 16:28

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Shodaime
$\begin{eqnarray*} X_{1} = 50,7083 \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt nicht alles nachgerechnet, aber das könnte passen. Die andere Lösung ist falsch, Du kannst aus einer negativen Zahl nicht den ln berechnen. Es gibt also nur eine Lösung.

Die vollständige Aufgabe hast Du zwar immer noch nicht verraten, aber es geht ja wohl um ein Seil, das zwischen x=-100 und x=100 aufgespannt ist. Und bei etwa x=50 geht die Steigung über 20 Prozent, wie Du jetzt ausgerechnet hast. Also schafft's der Fahrer nicht.

Prüf's aber sicherheitshalber noch einmal nach, indem Du die 50 in die Ableitung einsetzt und schaust, ob dann auch 0,2 rauskommt.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 16:38

Shodaime

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$\begin{eqnarray*} 0,2002 > 0,2 \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe war:

"d) Könnte ein Stuntman das Seil von der Mitte der Brücke bis zur Spitze des Turmes befahren, wenn sein Motorrad eine maximale Steigung von 20% schafft?"

Das heißt er kann sogesehen von dem Tiefpunkt starten und dann bis x=50 fahren?

21.05.2012, 16:44

Steffen Bühler

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Ich meinte eigentlich nicht Teil d der Aufgabe, sondern alles. Aber egal, die Lösung scheint ja zu stimmen.

Ja, so wie's aussieht, kann er nur von der Mitte (also x=0) bis x=50 fahren. Steiler schafft's sein Mopped nicht.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 16:52

Shodaime

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Und wie funktioniert das jetzt mit dem anderen Weg?

"Wenn Du Dir die Funktion ansiehst, kannst Du die Stelle mit der maximalen Steigung ja direkt bestimmen"

Stelle = P(x/y) ?

Kann man das direkt ablesen?

21.05.2012, 17:07

Steffen Bühler

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Ja, das kannst Du direkt ablesen. Wenn Du Dir die cosh-Funktion anschaust, siehst Du, daß sich die Steigung immer weiter erhöht. Das siehst Du auch in der Grafik. Und damit ist klar, daß die größte Steigung "ganz rechts" sein muß.

Auch wenn Du die Aufgabe nach wie vor für Dich behältst: ich bin sicher, da steht sowas wie: "ein Seil ist von einem Brückenpfeiler zu einem anderen gespannt, die stehen bei -100 und +100." Also ist die größte Steigung bei 100, ok?

Und jetzt hätte ich einfach genau diese Steigung über die erste Ableitung berechnet. Wenn die dann über 0,2 ist, muß sie auf dem Weg von der Brückenmitte (Steigung Null) bis zur Pfeilerspitze irgendwo diese 0,2 überschreiten. Wenn nicht, dann nicht. Und das war's dann schon.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 18:18

Shodaime

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, das kannst Du direkt ablesen. Wenn Du Dir die cosh-Funktion anschaust, siehst Du, daß sich die Steigung immer weiter erhöht. Das siehst Du auch in der Grafik. Und damit ist klar, daß die größte Steigung "ganz rechts" sein muß.

Auch wenn Du die Aufgabe nach wie vor für Dich behältst: ich bin sicher, da steht sowas wie: "ein Seil ist von einem Brückenpfeiler zu einem anderen gespannt, die stehen bei -100 und +100." Also ist die größte Steigung bei 100, ok?

Und jetzt hätte ich einfach genau diese Steigung über die erste Ableitung berechnet. Wenn die dann über 0,2 ist, muß sie auf dem Weg von der Brückenmitte (Steigung Null) bis zur Pfeilerspitze irgendwo diese 0,2 überschreiten. Wenn nicht, dann nicht. Und das war's dann schon.

Viele Grüße
Steffen

Aber die Ableitung von der cosh(x) ist doch sinh(x). Ich dachte wir reden hier von der 1. Ableitung?

Nein dort ist kein Intervall angegeben. Die 100 und -100 habe ich aus der Teilaufgabe c) entnommen, wo man die Parameter a und c so bestimmen sollte, dass die Funktion genau durch P(0/5), P(-100/30) und P(100/30) verläuft, also die Aufhängepunkte einen Abstand von 200m einhalten und 30m hoch sind.

Ich habe es so gelernt, dass eine Funktion f(x) die größte Steigung in ihrem Wendepunkt besitzt (Merksatz). Wieso also bei 100? Dem kann ich noch nicht ganz folgen.

Zusammenfassend: Ich habe jetzt genau den X-Wert berechnet, wo die Steigung größer als 20% (0,2) wird.

Wie hättest du die größte Steigung über die 1. Ableitung berechnet?

21.05.2012, 21:11

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Shodaime
Aber die Ableitung von der cosh(x) ist doch sinh(x). Ich dachte wir reden hier von der 1. Ableitung?

Du siehst aber auch dem cosh direkt an, daß er immer mehr steigt. So wie Du es auch dem Brückenseil ansiehst, oder? Das geht doch immer steiler nach oben. Aber Du hast natürlich recht: der sinh ist ab Null streng monoton steigend, auch das zeigt, daß die Steigung für den Motorradfahrer immer größer wird. Aber für die Anschaulichkeit mußt Du den sinh gar nicht kennen.

Zitat:

Original von Shodaime
Die 100 und -100 habe ich aus der Teilaufgabe c) entnommen, wo man die Parameter a und c so bestimmen sollte, dass die Funktion genau durch P(0/5), P(-100/30) und P(100/30) verläuft, also die Aufhängepunkte einen Abstand von 200m einhalten und 30m hoch sind.

Na, so allmählich rückst Du ja tatsächlich mit den Aufgabendetails raus.

Jetzt stell Dir diese Sache mal vor: bei -100 ist ein Aufhängepunkt, bei 100 auch. Nach den Aufhängepunkten geht doch das Seil links und rechts wieder runter! Wie bei der Golden Gate Bridge. Das heißt also, daß das Seil die größte Steigung direkt bei den Aufhängepunkten besitzt. Mehr als da geht nicht. Und deswegen darf man den Wert 100 in die erste Ableitung einsetzen. Da ist die größte Steigung des Seils, da ist die Spitze des Pfeilers. Und wenn diese Steigung mehr als 0,2 ist, schafft's das Motorrad nicht. Bis wohin es nun tatsächlich kommt, ist ja gar nicht gefragt, das ist Dein persönlicher Fleiß gewesen.

Zitat:

Original von Shodaime
Ich habe es so gelernt, dass eine Funktion f(x) die größte Steigung in ihrem Wendepunkt besitzt (Merksatz).

Wo hast Du den denn her? Schau mal f(x)=x³ an:

Da ist der Wendepunkt dorch eindeutig der Ursprung. Die Steigung dort ist aber ebenfalls eindeutig Null.

Zitat:

Original von Shodaime
Zusammenfassend: Ich habe jetzt genau den X-Wert berechnet, wo die Steigung größer als 20% (0,2) wird.

Ja, und damit hast Du die Aufgabe natürlich auch völlig korrekt gelöst. Ich wollte Dir über die Überlegung, daß man nur die größte Steigung berechnen muß, Zeit sparen. Mathematiker sind furchtbar faul, hat mein Mathelehrer gesagt.

Viele Grüße
Steffen

21.05.2012, 21:29

Shodaime

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Danke für deine Erläuterungen ich probiere den anderen Rechenweg nochmal aus.
Komischerweise bin ich beim erneuten überprüfen nicht mehr auf das Ergebnis 0,2002 gekommen, sondern auf 0,199994975 also ~0,2. Könntest du das auch bitte noch einmal nachrechnen?

lg,
Shodaime

P.S.: also f'(100) = ...und dann auflösen?

Wenn ich 100 einsetze und meine Werte für die Parameter a und c ebenfalls, komme ich auf 0,7329.

Ist das korrekt?

22.05.2012, 08:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Shodaime
Komischerweise bin ich beim erneuten überprüfen nicht mehr auf das Ergebnis 0,2002 gekommen, sondern auf 0,199994975 also ~0,2. Könntest du das auch bitte noch einmal nachrechnen?

Das ist in Ordnung. Man muß wohl bei den Zahlen wirklich viele Dezimalstellen spendieren, um nicht dauernd über die Rundungsfehler zu stolpern. Es ging mir auch nur darum, zu schauen, ob das Ergebnis im Bereich x=50 auch plausibel ist. Wenn da was ganz anderes als etwa 0,2 rausgekommen wäre, hätten wir ein Problem gehabt. So aber stimmt's.

Zitat:

Original von Shodaime
Wenn ich 100 einsetze und meine Werte für die Parameter a und c ebenfalls, komme ich auf 0,7329.
Ist das korrekt?

Ja, hab ich auch. Die Steigung ist zum Schluß etwa 73 Prozent - der Motorradfahrer hat also keine Chance, hochzukommen.

Findest Du nicht, daß dieser Rechenweg bequemer ist?

Viele Grüße
Steffen

22.05.2012, 10:21

Shodaime

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Natürlich ist der Rechenweg viel einfacher und die Aufgabe damit schneller zu lösen. Ich war am Anfang einfach nur etwas verwirrt, weil ich in meinen Unterlagen das mit dem Wendepunkt stehen hatte und mir nicht ganz klar geworden ist, was nun eigentlich verlangt ist. Im Nachhinein klingt aber alles sehr plausibel.

Vielen Dank!

lg,
Shodaime

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