Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung

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Felipe- Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Folgender Aufgabenteil ist vorangegangen:

Fluggäste verpassen mit 8%iger Wahrscheinlichkeit ihren Flieger.
Damit möglichst wenig leere Plätze vergeben werden, werden 420 Plätze vergeben, obwohl nur für maximal 400 Personen Platz ist.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden alle Personen einen Platz (Annahme: Unabhängigkeit)?

Lösung: Y: Anzahl der erscheinenden Gäste.
Interessiert an:

nach dem zentralen Grenzwertsatz ist Y approximativ normalverteilt (Faustregel ist erfüllt)
-->


Okay, so weit so klar.

b) Ein leerer Platz kostet 150€, ein Gast der keinen Platz bekommt, obwohl er gebucht hat, kostet 632€. Was wäre die optimale Überbuchungspolitik, sprich: wie viele Plätze sollten zusätzlich vergeben werden?

Das ganze geschieht im Rahmen einer Statistik-Vorlesung, ist - laut Dozent - nicht klausurrelevant, weil zu schwer (er hat es als kleinen 'Wettbewerb' ausgegeben). Mich interessiert es trotzdem! Mir geht es auch in erster Linie um unkonkrete Hilfestellung, will heißen: was muss ich anwenden/was muss ich mir anschauen, damit ich die richtigen Schritte gehe (keine konkreten Lösungsansätze, außer ich check's gar nicht).

Zu meiner Idee:

Es gibt ja zwei Fälle:
1) es werden mehr als 400 Plätze vergeben, aber es erscheinen trotzdem nicht genug, also obwohl wir 400+n Plätze vergeben, kommen weniger als 400. Das kostet uns pro Gast, der nicht erscheint, 150€.
2) es werden mehr als 400 Plätze vergeben und es erscheinen mehr als 400. Das kostet uns pro Gast, der nicht mitfliegen kann, 632€.
Jetzt müsste ich für jeden zusätzlich vergebenen Platz n (also 400+n) die Wahrscheinlichkeit ausrechenen, dass
1) trotzdem Plätze übrig bleiben
2) zu viel Gäste kommen
und diese jeweils mit
1) 150*n
2) 632*n multiplizieren
damit ich den Erwartungswert für jeden Platz extra ausrechnen kann.

Letztlich suche ich n, ich muss also eine Gleichung/ein Gleichungssystem aufstellen, dass ich nach n auflösen kann.

Sind meine Überlegungen soweit richtig?

Vielen Dank schonmal für eure Mühe! smile
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Das kann man wohl so machen, ist aber sehr aufwendig.

Etwas vereinfacht könnte man sagen, der beste Zutand ist, wenn das Risiko der Unterschreitung viermal so groß ist wie das Risiko der Überschreitung.
Die Kosten für einen oder mehrere Gäste zuviel betragen ja etwa das Vierfache für Gäste zuwenig.
Felipe- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Danke für deine Antwort! Freude

Genau wären das also: 632/150= 4,213333
Also: wenn ich mich zu dieser späten Stunde nicht vertue.

Wenn ich jetzt die Formel für die "Verteilungsfunktion" (also phi (...) ) einsetze, habe ich immer noch das Problem, dass ich nicht nach n auflösen kann, weil ich nicht weiß, wie ich das "phi" wegbekomme. Irgendwelche Hinweiße/Stichworte/Links dafür?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Zitat:
nicht klausurrelevant, weil zu schwer


Mein 1.Ansatz erschien mir zu leicht und ich habe nochmal nachgedacht:

Wenn man n erhöht, erhöht sich die rel. Häufigkeit für "401" gleichzeitig sinkt die rel. Häufigkeit für "399". Es "wandern" also Leute von 399 zu 400, die die Kosten senken und welche von 400 zu 401, welche die Kosten erhöhen. Ein Gleichgewicht bedeutet, dass viermal soviel Leute nach 400 wandern wie von 400 nach 401. Mathematisch würde das bedeuten dass nach n abgeleitet: f'(400,n)=4*f'(401,n).
Man könnte alternativ auch berechnen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Gegenüber dieser Näherungslösung bin ich etwas skeptisch.

Da man, soweit ich es sehe, eh nicht um numerisches Rechnen herum kommt, was spricht denn dagegen, dann gleich das exakte Optimum numerisch zu bestimmen?
Felipe- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Dagegen spricht eigentlich überhaupt nichts, mit Ausnahme meiner (möglichen) Überforderung (die Aufgabe wurde in einer reinen anwendungsbezogenen Statistik-B Vorlesung gestellt, ich bin kein Mathematik-Student). Das heißt jedoch nicht, dass ich es nicht versuchen möchte. Augenzwinkern

War denn meine Überlegung im ersten Post soweit richtig, dass ich damit weiter arbeiten kann, bzw. eine Gleichung aufstellen kann?!
Was sollte ich mir anschauen, um diese Aufgabe(Gleichung) lösen zu können?
Ich vermute, dass es um das numerische Lösen von Integralgleichungen geht, gibt es dazu verständliche Erklärungen im Internet?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Ich hatte an etwas viel einfacheres gedacht, nämlich sich einfach den Erwartungswert des Verlusts mittels der Binomialverteilung hinzuschreiben. Das ist eine Summe, die ein programmierbarer Rechner oder Excel leicht ausrechnen kann. Den lässt man für Buchungszahlen n > 400 ausrechnen und sieht dann, wo das Minimum ist. Man könnte z. B. bei n = 410 beginnen und solange erhöhen bis der Erwartungswert wieder ansteigt.

Hat der Rechner bei diesen n-Werten Probleme mit der Binomialverteilung, kann man statt dessen die Näherung durch die Normalverteilung verwenden.
Felipe- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Okay, ich probiere mich mal an der Verlust-Binomialverteilung:



Vorne sind die Kosten, dass bei 400+k Buchungen weniger Gäste kommen, nach dem Plus die Kosten, dass bei 400+k mehr Gäste kommen.

Der Erwartungswert ist ja: , wobei dieses pi jetzt nicht mehr 0,92 ist, sondern der Mittelwert obiger Gleichung bei einem bestimmten n. Oder bin ich auf dem völlig falschen Dampfer?

Leider muss ich sagen, dass ich bisher ein Excel-Verweigerer war. Ups Ich habe also keine Ahnung wie ich bequem viele Summen auf einmal ausrechne, sodass ich eine Liste erhalte, an der ich das Minimum ablesen kann.

EDIT: An dieser Stelle schon mal vielen Dank an alle die sich Gedanken gemacht haben und noch machen werden! Wink
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Du darfst mich nur in zuviel und zuwenig Besucher unterteilen, sondern jeweils auch wie weit sie drüber oder drunter liegen

Mein letzter Ansatz war noch nicht vollständig:

ist auf n normiert.
Die Herleitung beruht darauf, dass ich statt n zu ändern, einfach die Grenze von 400 auf 399 verschieben kann und nur die Änderungen in den rel. Häufigkeiten betrachte: .
Diese werden aufsummiert und mit dem jeweiligen Abständen von 400 multipliziert. Ein Gleichgewicht (=Minimum) bedeutet, dass eine minimale Änderung die Kosten für wachsende Überbelegung genauso steigern wie sie für schrumpfende Unterbelegung fallen würden.
Eine numerische Lösung ist sicher nicht Sinn der "Wettbewerbs":
Ich habe ein Makro für Word, Excel in Visual Basic, das dir zu jedem n einen Erwartungwert für die Kosten per Messagebox ausgibt. Es wird jeweils über ca. 2 Standardabw. um E(rwartungswert) der antretenden Gäste summiert.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
Function BinCoeff(n, j)

          Dim i As Integer
          Dim b As Double
         
          b = 1
          For i = 0 To j - 1
                    b = b * (n - i) / (j - i)
          Next i
          BinCoeff = b
End Function
Sub Makro1()
Dim Summe, Abweichung As Double
Dim E, n, k As Integer
For n = 410 To 440
 E = Int(0.92 * n)
 Summe = 0
    For k = -12 To 12
    Abweichung = BinCoeff(n, E + k) * 0.92 ^ (E + k) * 0.08 ^ (n - E - k) * (E + k - 400)
    If Abweichung > 0 Then Abweichung = Abweichung * 635 Else Abweichung = -Abweichung * 150
    Summe=Summe +Abweichung 
    Next k
   MsgBox Abweichung 
Next n
End Sub
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Zitat:
Original von Felipe-
Okay, ich probiere mich mal an der Verlust-Binomialverteilung:


Da scheint einiges schief gelaufen zu sein. Bauen wir die Sache mal systematisch auf. Es sei n die Zahl der Buchungen und k die Zahl der erscheinenden Passagiere. pp(k) sei die Wahrscheinlichkeit, dass k Passiere erscheinen, und V(k) sei der Verlust, wenn k Passagiere erscheinen. p = 0.92 sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein gebuchter Passagier erscheint. Dann ist der Erwartungswert des Verlusts entsprechend der Definition des Erwartungswerts:



pp(k) ergibt sich aus der Binomialverteilung zu:



Der Verlust ist entsprechend den Angaben in der Aufgabe:

für k <= 400

für k > 400

Das ist jetzt nur noch in E(V) einzusetzen. Wenn die Binomialverteilung dem Rechner Probleme macht, kann man sie durch die Normalverteilung mit und ersetzen. Dabei ordnet man dem diskreten Wert k einen Streifen von k - 0.5 bis k + 0.5 zu. Das führt zu:



Falls nötig, kann man dann noch die Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu: Approximation Binomialverteilung --> Normalverteilung
Zitat:
Also: wenn ich mich zu dieser späten Stunde nicht vertue.
Es ist tatsächlich so.
Das oben genannte VB-Script kann dazu benutzt werden, um die von Huggy beschriebe Aufsummierung durchzuführen und sie sich für verschiedene n (etwa von 410 bis 440) anzeigen zu lassen. Es ist bei dem n am niedrigsten, für das die Unterschreitungs- und Überschreitungs-Wks im umgekehrten Verhältnis wie die Kosten (150/635) zueinander stehen.
Durch Lösen folgender Beziehung kann man es beweisen, wenn man über die Näherung durch NV geht:
Felipe- Auf diesen Beitrag antworten »

Wow. Vielen Dank! smile

Ich hatte die letzten 2 Tage viel um die Ohren, jetzt aber wieder Zeit mich damit zu beschäftigen.
Eure Ausführungen verstehe ich, jetzt versuche ich sie umzusetzen. Danke nochmal! Freude

Ich melde mich, wenn ich Probleme, Fragen oder ein Ergebnis habe.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einen Fehler im Makro-Code entdeckt:
Bitte Zeile 23 ändern

Zeile 23 (neu): MsgBox Summe & "*" & n

So werden dir Erwartungswert für Kosten und jeweiliges n durch "*" getrennt angezeigt.

Mein Beweisansatz ist nicht ganz korrekt (Vorzeichenfehler und Integrationsgrenzen sind nicht auf Standard-NV normiert). Bitte melden, wenn exakter Beweis gewünscht wird und du nicht selbst draufkommst.
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