A = A^n => A diagonalisierbar

23.05.2012, 12:12

0815#

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A = A^n => A diagonalisierbar

Hallo,

ich soll folgendes zeigen:

Sei A eine komplexe k x k -Matrix für die es ein n aus den natürlichen Zahlen gibt, mit $\begin{eqnarray*} A = A^{n} \end{eqnarray*}$ (A ist Idempotent). Dann folgt A ist diagonalisierbar.

Mein einziger (leider falscher) Ansatz war: $\begin{eqnarray*} A^n = a \Rightarrow A^n - A = 0 \Rightarrow A^{n-1} (A-E) = 0 \end{eqnarray*}$ ... doch leider sind Matrizen bekanntlich nicht nullteilerfrei, somit komme ich hier nicht weiter.

Ich habe auch versucht eine Lösung mit char. Polynom und Minimalpolynom zu finden, aber mir erschließt sich nicht, warum bei idempotenten Matrizen das char. Polynom und das Minimalpolynom die gleichen Eigenschaften haben sollen ...

Kann mir jemand von euch weiterhelfen?

23.05.2012, 13:25

Reksilat

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RE: A = A^n => A diagonalisierbar
Aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} A^n-A=0 \end{eqnarray*}$ kannst Du schon ein Polynom ablesen, das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat. Damit zeigst Du dann, dass alle Nullstellen des Minimalpolynoms paarweise verschieden sind.

Gruß,
Reksilat.

23.05.2012, 13:45

tmo

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RE: A = A^n => A diagonalisierbar

Zitat:

Original von Reksilat
Damit zeigst Du dann, dass alle Nullstellen des char. Polynoms paarweise verschieden sind.

Du meinst alle Nullstellen des Minimalpolynoms sind paarweise verschieden.

@0815: Entweder ist die Aufgabe schlampig gestellt oder du hast und was verschwiegen.
Man braucht noch, dass der Körper, über dem wir das ganze betrachten, algebraisch abgeschlossen ist. (Oder wenn man es noch abschwächen will, zumindest die (n-1)-ten Einheitswurzeln enthält).
Damit diese Einheitswurzeln wirklich verschieden sind, braucht man auch noch, dass die Charakteristik von K nicht durch n-1 teilbar ist.

Z.b. erfüllt die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} A^4=A \end{eqnarray*}$ , aber A ist noch nicht mal trigonalisierbar über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

23.05.2012, 13:58

Reksilat

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RE: A = A^n => A diagonalisierbar
@tmo: Danke! Ich korrigiere das mal oben...

btw.: In der Aufgabenstellung steht:
"Sei A eine komplexe k x k -Matrix"
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

23.05.2012, 14:00

tmo

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Hehe, da hab ich die ganze zeit nach "algebraisch abgeschlossen" gesucht und hab dabei "komplex" überlesen.

Halten wir also fest, dass ich schlampig gelesen habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2012, 14:48

0815#

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RE: A = A^n => A diagonalisierbar

Zitat:

Original von Reksilat
Aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} A^n-A=0 \end{eqnarray*}$ kannst Du schon ein Polynom ablesen, das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat.

Meinst du $\begin{eqnarray*} (A^{n-1} - E) A \end{eqnarray*}$ ? Tut mir leid, ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch ... :-/

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23.05.2012, 14:54

Reksilat

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RE: A = A^n => A diagonalisierbar
Nein, ein Polynom. Also ein Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} a_mx^m+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ hier ganze Zahlen sein dürfen.
Und wenn man für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einsetzt kommt Null raus. Es ist wirklich ganz banal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2012, 15:26

0815#

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Ah, okay, das Polynom würde dann wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} x^n + 0 \cdot x^{n-1} + \dots + 0 \cdot x^2 + (-1)\cdot x + 0 \end{eqnarray*}$

Das müsste aber jetzt stimmen, oder?

Zu deinem 2ten Hinweis (zeigen, dass das Minimalpolynom paarweise verschiedene Nullstellen hat) kann ich jetzt noch nix sagen, da muss ich nochmal drüber nachdenken ...

23.05.2012, 15:30

Reksilat

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Richtig, das Polynom $\begin{eqnarray*} x^n-x \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Nullstelle.
Daraus folgt dann aber direkt, dass das Minimalpolynom ein Teiler von $\begin{eqnarray*} x^n-x \end{eqnarray*}$ ist.
Nun musst Du eben nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x^n-x \end{eqnarray*}$ lauter paarweise verschiedene Nullstellen hat.

23.05.2012, 16:36

0815#

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Tut mir leid, ich habe keine Ahnung, wie man das zeigen kann ... :-/

Trotzdem Danke für deine Hilfe.

23.05.2012, 16:46

tmo

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Da Reksilat gerade offline ist:

Wir sind doch glücklicherweise in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , da kann man die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^n-x \end{eqnarray*}$ doch explizit alle hinschreiben und daran dann sehen, dass sie alle verschieden sind.

D.h. du brauchst dafür noch nicht mal abstrakte algebraische Argumente (Was du bräuchtest, wenn wir statt in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ in einem beliebigen alg. abgeschlossenen Körper geeigneter Charakteristik wären)

23.05.2012, 17:00

0815#

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Ich weiß, dass jedes Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aber wie sehe ich dem Polynom $\begin{eqnarray*} x^n - x \end{eqnarray*}$ an, dass alle Linearfaktoren die Vielfachheit 1 haben ... ?

23.05.2012, 17:05

tmo

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Es ist doch $\begin{eqnarray*} x^n -x=x(x^{n-1}-1) \end{eqnarray*}$

Also ist 0 eine Nullstelle. Die anderen Nullstellen kommen von $\begin{eqnarray*} x^{n-1}-1 \end{eqnarray*}$ .

Normalerweise sollte man wissen, wie diese aussehen.

23.05.2012, 18:11

0815#

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Die sind 1 und -1 (falls n-1 gerade ist) ...

23.05.2012, 18:39

tmo

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Nein. Schon mal was von komplexen Einheitswurzeln gehört?

Etwas schade, wenn eine solche Aufgabe aus der immerhin fortgeschrittenen linearen Algebra an Grundlagen scheitert. Dann ist es kein Wunder, dass man die Aufgabe nicht lösen kann.

23.05.2012, 18:59

Reksilat

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Man kann es aber auch anders sehen, denn eine mehrfache Nullstelle eines Polynoms ist auch immer Nullstelle der Ableitung des Polynoms. (Kann man mit der Produktregel beim Ableiten gut herleiten.)

23.05.2012, 19:08

tmo

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Ja, ich dachte nur, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ der Weg, dass man die Nullstellen einfach alle angibt, etwas einfacher ist, weil weniger abstrakt.

Warten wir mal ab, wenn sich 0815 wieder meldet. Vielleicht lässt ihn ja das Stichwort Einheitswurzeln schon auf die Lösung kommen. Sonst muss in der Tat der Weg über die formale Ableitung her.

23.05.2012, 20:00

0815#

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Okay, im Skript von einer Veranstaltung des letztjährigen Semesters steht auch was zu den n-ten Einheitswurzeln. Sorry, dass ich das nicht mehr präsent hatte.

$\begin{eqnarray*} x^{n-1} = 1 \end{eqnarray*}$ hat demnach n-1 paarweise verschiedene Lösungen, welche ungleich 0 sind (die n-1 Ecken eines regulären n-1-Ecks)

=> $\begin{eqnarray*} x^n - x \end{eqnarray*}$ hat n paarweise verschiedene Nullstellen

=> die Nullstellen des Minimalpolynoms von A sind ebenfalls paarweise verschieden

=> A ist diagonalisierbar

23.05.2012, 20:46

tmo

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