Matrizenmultiplikation

23.05.2012, 18:00

guitarero

Matrizenmultiplikation

Meine Frage:
Es sei A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M(m × n,K) eine Matrix mit m < n . Zeigen Sie, dass es eine Matrix
B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M(n × 1,K) \ {0} mit AB = 0 gibt.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung, wie man da rangehen sollte unglücklich

Könnte mir vll jemand einen Tipp geben? Müsste keine komplette Lösung sein, aber irgendein Weg...

23.05.2012, 23:41

Louis1991

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RE: Matrizenmultiplikation
Hey guitarero,

Das sollte eigentlich ganz straight-forward gehen:

Nimm dir mal eine allgemeine mxn Matrix (schreib die am besten hin mit Einträgen $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ), jetzt suchst du einen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ . Schreib den ruhig auch aus mit Einträgen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ Wie man Matrizen mit Vektoren/Matrizen multipliziert, solltet ihr in der Vorlesung gemacht haben.

Du erhältst dann ein lineares Gleichungssystem. Über die Lösbarkeit des LGS musst du dann eine Aussage treffen und du bist fertig.

Hoffe, das hilft dir weiter.

lg
kai

24.05.2012, 01:50

guitarero

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RE: Matrizenmultiplikation
Erstmal danke für die Antwort!!

Darf ich dann einfach so annehmen dass das entstehende homogene GLS unendlich viele Lösungen hat, weil ich mehr Zeilen wie Unbekannte habe? Das wär dann ja fast zu einfach. Auf die einfach Multiplikation mit dem Vektor hätte ich kommen müssen, Brett vorm Kopf -.-

24.05.2012, 03:25

Totto-GE

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RE: Matrizenmultiplikation
Die Antwort postid=1618684 hat dich nicht gejuckt ?? böse

24.05.2012, 07:37

Louis1991

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RE: Matrizenmultiplikation

Zitat:

Original von guitarero
Erstmal danke für die Antwort!!

Darf ich dann einfach so annehmen dass das entstehende homogene GLS unendlich viele Lösungen hat, weil ich mehr Zeilen wie Unbekannte habe? Das wär dann ja fast zu einfach. Auf die einfach Multiplikation mit dem Vektor hätte ich kommen müssen, Brett vorm Kopf -.-

Jop, du hast m Zeilen und n Unbekannte. Fertig. Totto-GEs Post meine übrigens ich entnehmen zu können, dass die Frage letztens schonmal aufkam. Vielleicht kannst du ja nach dem entsprechenden Thema suchen: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1618684.

Da wurde in etwa eine gleiche Antwort gegeben, nur dass der Fragesteller wohl schon ein Stück weiter war als du. Das nächste mal vielleicht die Suchfunktion benutzen. Augenzwinkern

lg
kai

24.05.2012, 08:41

Iorek

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@Totto-Ge,

da es sich um zwei verschiedene Fragesteller handelt, ist dein Tonfall mehr als unangebracht und solltest diesen in Zukunft bitte etwas freundlicher gestalten!

24.05.2012, 09:10

Ehos

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@guitarero
Du suchst für m Vektoren des n-dimensionalen Raumes m-n Vektoren, die darauf senkrecht stehen. Hat man z.B. im Falle n=5 die m=3 Vektoren $\begin{eqnarray*} (a_1|a_2|...|a_5) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_1|b_2|...|b_5) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (c_1|c_2|...|c_5) \end{eqnarray*}$ , dann kann man mit dem Levi-Civita-Tensor sofort m-n=2 senkrechte Vektoren $\begin{eqnarray*} (d_1|d_2|...|d_5) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (e_1|e_2|...|e_5) \end{eqnarray*}$ mit folgenden Komponenten hinschreiben

$\begin{eqnarray*} d_k=\sum\limits_{h=1}^5 \sum\limits_{i=1}^5 \sum\limits_{j=1}^5 \epsilon_{hijk5}\,\,a_hb_ic_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_l=\sum\limits_{h=1}^5 \sum\limits_{i=1}^5 \sum\limits_{j=1}^5 \epsilon_{hij4l}\,\,a_hb_ic_j \end{eqnarray*}$

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