Exponentialverteilung Beispiel

27.01.2007, 11:26

wzbw

Exponentialverteilung Beispiel

Hallo !

Vielleicht kann mir jemand bestätigen ob ich das Beispiel verstanden habe.

Ich habe Bauteile mit mittlerer Lebensdauer 1000.
a.) $\begin{eqnarray*} P(X\geq 500) \end{eqnarray*}$ für 2 von 5 zufällig ausgewählten Teilen ?
b.)Wie gross muss die mittlere Lebensdauer sein damit die Wahrscheinlichkeit 0.9 ist, dass für $\begin{eqnarray*} X\geq 500 \end{eqnarray*}$ noch alle 5 Teile funktionieren ?

Habe das jetzt so gelöst:

a.)
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 500) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{500}{1000} }=0.6065 \end{eqnarray*}$
Da ich diese ja 2 mal brauche: $\begin{eqnarray*} 2 mal P(X\geq 500)=0.6065^{2} \end{eqnarray*}$

b.)
$\begin{eqnarray*} 5 mal P(X\geq 500)=P(X\geq 500)^{5}=0.9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 500)=\sqrt[5]{0.9}=e^{-500*\lambda} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda}=-\frac{500}{ln\sqrt[5]{0.9}} \end{eqnarray*}$

Hier kommt dann eine mittlere Lebensdauer von $\begin{eqnarray*} 23728 \end{eqnarray*}$ raus, ist das plausibel ?

Vielen Dank !

27.01.2007, 14:42

stef123

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RE: Exponentialverteilung Beispiel

Zitat:

Original von wzbw
Da ich diese ja 2 mal brauche: $\begin{eqnarray*} 2 mal P(X\geq 500)=0.6065^{2} \end{eqnarray*}$

So wird das nichts. 2 aus 5 sieht doch stark nach ner Binomialverteilung aus, oder Augenzwinkern

27.01.2007, 15:40

wzbw

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Was is blos los mit mir, vergess ich doch einen Teil der Angabe...

Die Verteilung der Lebensdauer is exponentialverteilt

sry

27.01.2007, 16:21

stef123

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Ist ja richtig.

Für jedes einzelne Bauteil gilt die Exponentialverteilung. Ein Bauteil wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 60,65% älter als 500.

Wenn du nun 2 aus 5 betrachstet kann ja das erste und das zweite älter als 500 sein, das dritte, vierte und fünfte nicht.

also (0,6065^2 + (1-0,6065)^3)

Es könnte ja aber auch das erste und das dritte überleben und das zweite, vierte und fünfte nicht...

Siehst du etwas Augenzwinkern

27.01.2007, 20:10

wzbw

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Ah, schön langsam wirds..

dh, ich muss die die 2 Fälle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} * (1-0.6065)^5 + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} * 0.6065 * (1-0.6065)^4 \end{eqnarray*}$ von 1 abziehen um zum gewünschten ergebnis zu kommen dh.: 2 Teile von 5 mit $\begin{eqnarray*} P(X\geq 500) \end{eqnarray*}$ ?

28.01.2007, 11:52

wzbw

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Damit kommt eine P von 0.6517 raus.

um zu b.) zu kommen

um auf den Mittelwert von P(alle 5 teile in Ordnung)=0.9 zu kommen, muss ich nun 1-P(keine defekt) rechnen.
$\begin{eqnarray*} 1-\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} *p^0*(1-p)^5=0.9 \end{eqnarray*}$
und komme auf $\begin{eqnarray*} p=0.369 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-e^{-\lambda*500}=0.369 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda=9.2*10^{-4} \end{eqnarray*}$
und damit auf eine mittlere Lebensdauer von (abgerundet)
$\begin{eqnarray*} 1086 \end{eqnarray*}$ Stunden, was sehr viel besser ausschaut.

Danke für Deine Hilfe

28.01.2007, 13:20

stef123

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Zitat:

Original von wzbw
Ah, schön langsam wirds..

dh, ich muss die die 2 Fälle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} * (1-0.6065)^5 + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} * 0.6065 * (1-0.6065)^4 \end{eqnarray*}$ von 1 abziehen um zum gewünschten ergebnis zu kommen dh.: 2 Teile von 5 mit $\begin{eqnarray*} P(X\geq 500) \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt rechnest du ja auch, dass mindestens 2 aus 5 "überleben".

Dich interessiert aber nur genau 2 aus 5!

28.01.2007, 14:36

wzbw

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Alles klar, danke nochmal
Bin ja echt ein hoffnungsloser Fall in sachen Kombinatorik/Statistik.. Hammer

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