CG-Verfahren mit Positiv Semidefiniten Matrizen

24.05.2012, 17:14	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
CG-Verfahren mit Positiv Semidefiniten Matrizen Hallo, Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, Sei $\begin{eqnarray} $A \in \mathbb R^{n \times n}$ \end{eqnarray}$ symmetrisch positiv semidefinit, $\begin{eqnarray} $b \in \mathbb R^n, x^0 \in \mathbb R^n$ \end{eqnarray}$ ein gegebener Startwert. Zu Zeigen: (a) Das CG Verfahren ist anwendbar solange für die k-te Suchrichtung gilt $\begin{eqnarray} $Ap_k \not= 0$ \end{eqnarray}$ (b) Falls $\begin{eqnarray} $Ap_k =0$ \end{eqnarray}$ ist, gilt $\begin{eqnarray} $(b-Ax_k)^\text{T} y = 0, \ \forall y \in \mathbb R^n$ \end{eqnarray}$ Für die (a) würde ich sagen, da ich durch $\begin{eqnarray} $Ap_k$ \end{eqnarray}$ für meine Schrittweite teilen muss, darf das nicht Null werden, also muss ich dann den Alogrithmus abbrechen. Für (b), die Aussage bedeutet dann wohl, dass ich falls eben $\begin{eqnarray} $Ap_k = 0$ \end{eqnarray}$ dann habe ich meine lösung für $\begin{eqnarray} $Ax-b=0$ \end{eqnarray}$ gefunden und sie ist $\begin{eqnarray} $x_k$ \end{eqnarray}$ Nur gerade komme ich nicht weiter, wie ich das zeigen soll. Ich habe schon versucht mit $\begin{eqnarray} $p_k$ \end{eqnarray}$ aus dem Algorithmus zu arbeiten. Nur leider ohne erfolg. Hoffe mir kann vllt jemand helfen und mir tipps geben. Gruß und Danke

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