Konvergenz einer Folge beweisen

26.05.2012, 18:08

Simone@Mathe

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Konvergenz einer Folge beweisen

Hallo,

ich soll beweise das diese Folge $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)}{(2n-1)} \end{eqnarray*}$ konvergent ist.
Den Grenzwert habe ich mit 1/2 heraus gefunden. Nun muss ich ja mit irgendwie so was wie: Es sei Epsilon > 0... beweisen das die Folge konvergent ist. Hat jemand einen Lösungansatz für mich?

Vg, Simone

26.05.2012, 18:21

Mulder

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen
Ganz stumpf nach Definition. Zu zeigen ist, dass es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left \vert \frac{n+1}{2n-1} - \frac{1}{2} \right \vert < \epsilon \end{eqnarray*}$

Einfach drauf los rechnen.

26.05.2012, 19:33

Simone@Mathe

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen
Ok, ich habe gerechnet :-) nun hänge ich bei $\begin{eqnarray*} \frac {3} {4n-2} \end{eqnarray*}$ < Epsilon..... Könnte ich ja noch umformen in 3/Epsilon < 4n-2 .... Könnte ich dann einfach durch Abschätzung sagen 3/Espilon < n ? Oder was darf ich bei Abschätzungen tun?

26.05.2012, 19:42

Mulder

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen
Lös die Ungleichung einfach nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf.

26.05.2012, 20:22

Simone@Mathe

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen
Nun muss ich gestehen, das ich nicht mehr weiss wie ich das n auflöse ...

26.05.2012, 20:42

Konvergenz

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Hallo,

wärst du so nett noch aufzuschreiben wie du auf

$\begin{eqnarray*} \frac {3} {4n-2}< \epsilon \end{eqnarray*}$

kommst ?

Ich versteh leider nicht wie man die Formel von Mulder benutzt unglücklich

unglücklich

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26.05.2012, 20:53

watcher

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@Simone:
Ungleichung auflösen, fast so wie Gleichung auflösen.
@Konvergenz: Bruchrechnen. (so mit Hauptnenner)

Beides ist relativ elementarer Schulstoff .

26.05.2012, 21:01

Simone@Mathe

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@Watcher: Das dies Schulstoff ist, weiss ich wohl, aber die ist schon solange her :-) . wäre also über eine Lösung der Umformung nach n sehr glücklich .. dann hab ich wenigstens schonmal eine Aufgabe heute gelöst :-)
@Konvergenz: http://www.mathepower.com/bruchterme.php

Zitat:

Original von watcher
@Simone:
Ungleichung auflösen, fast so wie Gleichung auflösen.
@Konvergenz: Bruchrechnen. (so mit Hauptnenner)

Beides ist relativ elementarer Schulstoff .

26.05.2012, 21:19

Konvergenz

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Also wie ich mit einem Taschenrechner eine Formel verstehen soll versteh ich nicht.

26.05.2012, 21:30

Konvergenz

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Ah,sorry hab was wichtiges nicht gelesen.

(Hauptnenner)

Aber die Formel von Mulder ist mir trozdem nicht ganz klar.

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(2n-1)}-\frac{1}{2}=\frac{((n+1)*2)}{((2n-1)*2)}-\frac{(1*(2n-1))}{(2*(2n-1))}=\frac{(2n+2)}{(4n-2)}-\frac{(2n-1)}{(4n-2)}=\frac{3}{4n-2} \end{eqnarray*}$

26.05.2012, 21:53

Konvergenz

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Ab 5:40 erklärt er das mit dem Relationszeichen

youtube.com/watch?v=BSHuksI85xo

Wenn ich das richtig verstanden habe dreht es sich nur, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert bzw. durch eine negative Zahl dividiert.

$\begin{eqnarray*} \frac {3} {4n-2}< \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3< (4n-2)*\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\epsilon}< 4n-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\epsilon}+2< 4n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{\epsilon}}{4}+\frac{2}{4}< n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4*\epsilon}+\frac{1}{2}< n \end{eqnarray*}$

26.05.2012, 21:57

watcher

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Zitat:

wäre also über eine Lösung der Umformung nach n sehr glücklich .. dann hab ich wenigstens schonmal eine Aufgabe heute gelöst :-)

Wenn ich's vorrechne hab ich die Aufgabe gelöst. Da versprichst dafür sowas zu üben.(Das Schule so lange her ist, ist eine der schlechtesten Ausreden überhaupt. Und deinem Dozenten ist sowas zu recht ziemlich egal. Wobei: sowas führt zu Frustration bei Dozenten wenn Leute nicht mal die elementarsten Sachen können und dann schwierigeres verstehen sollen. Garniert gerne noch mit einem: der dozent ist total doof, weil ich versteh das nicht.)
$\begin{eqnarray*} \frac {3} {4n-2}< \epsilon \Leftrightarrow \frac{3}{\epsilon}<4n-2 \leftrightarrow \frac{3}{\epsilon}+2 <4n \Leftrightarrow \frac{3}{4\epsilon}-\frac{1}{2}< n \end{eqnarray*}$

@Konvergenz:
Wo liest du hier bitte Taschenrechner? Und Gratulation, du kannst Bruchrechnen.
Und mir ist überhaupt nicht klar was dir an der formel unklar ist. Für richtige hilfe dazu musst so schon genauer werden.

26.05.2012, 22:13

Konvergenz

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen
@watcher

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht ohne es zu bemerken

Weil du hast -0,5 <n herraus und ich +0,5 <n

Zitat:

Original von Mulder
Ganz stumpf nach Definition. Zu zeigen ist, dass es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left \vert \frac{n+1}{2n-1} - \frac{1}{2} \right \vert < \epsilon \end{eqnarray*}$

Einfach drauf los rechnen.

Also ich versteh nur soviel Epsilon muss größer als 0 sein.

Das nullte Glied ist ein Element der natürlichen Zahlen und

jedes Glied ist größer gleich wie das nullte Glied.

Jetzt prüft man ob Epsilon größer 0 ist.

Wenn das alles zutrifft haben wir dann Konvergenz ?

26.05.2012, 22:37

watcher

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Zitat:

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht ohne es zu bemerken Weil du hast -0,5 <n herraus und ich +0,5 <n

Dein ergebnis ist richtig, ich hab in der letzten Umformung einen Tippfehler (das - ist ein +)

Das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist nicht das nullte Glied (von was auch?) sondern schlicht irgendeine natürliche Zahl die Mulder und etliche andere auch als $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Ich persönlich bevorzuge N - aber das ist reine Gescmackssache, es ist nur eine Bennennung.
Und was du nicht zu verstehen scheint ist die Definition der Konvergenz.
(Eine Defintion ist keine Formel.)

Zitat:

Jetzt prüft man ob Epsilon größer 0 ist.

Nein.
Man beginnt mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ .
Warum?
Weil die Def. beginnt mit: Für alle Epsilon>0 gilt...
Das heißt das nachfolgende muss für jedes positive Epsilon gelten.
Das nächste in der Def ist: es exist ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ .
Also muss man ein solches n_0 in Abhängigkeit von Epsilon finden.
Und genau deswegen wird die Ungleichung nach n aufgelöst, denn so kann man das n_0 finden.

Anschauliche Def. der konvergenz:
Für jeden Radius Epsilon gibt es einen Kreis um den Grenzwert (hier 1/2) und zwar so dass höchstens die ersten n_0 Elemente der Folge nicht im Kreis liegen.
Oder ganz Umgangssprachlich: Egal wie genau man auf den grenzwert hinzoomt, es sind nur endlich viele Folgenelemente nicht im Bild.

26.05.2012, 23:00

Konvergenz

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@watcher

Danke für die ausführliche Erklärung Freude

Freude

Hat mir geholfen smile

smile

27.05.2012, 15:25

Simone@Mathe

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Auch danke :-) Also ist somit die Konvergenz bewiesen?

Bei meiner 2ten Aufgabe habe ich aber schon ein Problem mit dem Grenzwert. (an) = $\begin{eqnarray*} \sqrt (n+1) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sqrt (n) \end{eqnarray*}$ . Wie finde den nun am besten raus?

27.05.2012, 18:16

Mulder

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Zitat:

Original von Simone@Mathe
Also ist somit die Konvergenz bewiesen?

Ist sie. Aber die Frage lässt mich irgendwie befürchten, dass du es nicht verstanden hast. Nunja...

Zitat:

Original von Simone@Mathe
Bei meiner 2ten Aufgabe habe ich aber schon ein Problem mit dem Grenzwert. (an) = $\begin{eqnarray*} \sqrt (n+1) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sqrt (n) \end{eqnarray*}$ . Wie finde den nun am besten raus?

Scheinbar gibt es noch Schwierigkeiten mit dem Formeleditor. Gemeint ist wohl

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Der Trick bei Folgen dieser Bauart ist eigentlich immer der gleiche: Erweitern, um anschließend die dritte binomische Formel ins Spiel bringen zu können.

28.05.2012, 10:30

Simone@Mathe

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Danke, ich hatte es sogar schon selber gelöst :-)

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