Erwartungswert (allgemeine Def.)

26.05.2012, 18:21

Gast11022013

Erwartungswert (allgemeine Def.)

Meine Frage:
Die allgemeine Definition des Erwartungswerts einer Zufallsvariable X ist ja:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X)=\int_{\Omega}X\, dP=\int_{\Omega}X(\omega)\, dP(\omega) \end{eqnarray*}$ .

Wie wird daraus

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X)=\sum_{\omega\in\Omega}\underbrace{X(\omega)}_{x_i}P(X=x_i) \end{eqnarray*}$

im Fall, daß X diskrete ZV ist?

Meine Ideen:
..

26.05.2012, 18:32

HAL 9000

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Die Definition des Lebesgue-Integrals ist dir geläufig? Das geht ja los mit Treppenfunktionen, und führt dann weiter über Grenzwertbildung usw.

Für den Fall einer diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist aber bereits der erste Definitionsteil mit den Treppenfunktionen vollkommen ausreichend.

26.05.2012, 18:39

Gast11022013

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Das bedeutet:

Wenn P ein stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist und X diskret, kommt 0 heraus?

26.05.2012, 18:48

HAL 9000

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Nein - wie kommst du darauf?

26.05.2012, 18:48

Gast11022013

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Hier stand was Unnötiges.

26.05.2012, 18:56

HAL 9000

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Hier stand eine nötige Erwiderung auf das Unnötige. Augenzwinkern

-------------------------------------

Zur ursprünglichen Frage:

Diskret heißt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar viele Werte annehmen kann, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\ldots \end{eqnarray*}$ . Dann bilden die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_k := X^{-1}(\{x_k\}) \end{eqnarray*}$ in ihrer Gesamtheit eine abzhählbare Zerlegung des W-Raumes $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , mithin kann man schreiben

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k\cdot 1_{A_k}(\omega) \end{eqnarray*}$

also eine Treppenfunktion. Und für die ist nun mal

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} X(\omega) ~ \dd P(\omega) := \sum_{k=1}^{\infty} x_k\cdot P(A_k) \end{eqnarray*}$

definiert - ganz egal, welche Struktur das eigentliche $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nun hat.

EDIT: Ach jetzt merke ich erst, in der Version

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X)=\sum_{\omega\in\Omega}\underbrace{X(\omega)}_{x_i}P(X=x_i) \end{eqnarray*}$

ist es natürlich falsch, sobald mehr als ein $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ auf dasselbe $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ abbildet.

26.05.2012, 18:59

Gast11022013

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Dann lösche ich das wieder, war auch unpassend, sorry

Kannst Du das Zitat davon auch bitte löschen, damit der Thread wieder "sauber" ist?

Danke für Deine Erklärung. Hat sich dann geklärt.

26.05.2012, 19:08

Gast11022013

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Eine Frage doch noch.

Wo wir gerade bei Treppenfunktionen sind.

Wenn ich einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal{M} \end{eqnarray*}$ habe, wo $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsraum ist und $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ Unter-sigma-Algebra von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , so ist ja $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal{M}) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvarriable.

Edit:

Das ist doch dann auch eine Treppenfunktion, sofern $\begin{eqnarray*} \mathcal{M}=\sigma(B_j), j\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , denn dann kann diese Zufallsvariable ja auch wieder höchstens abzählbar viele Werte annehmen: Also $\begin{eqnarray*} P(A|M) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} M\in\mathcal{M} \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig?

26.05.2012, 19:24

Gast11022013

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Bitte siehe Edit im letzten Beitrag.

Danke.

27.05.2012, 15:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Das ist doch dann auch eine Treppenfunktion, sofern $\begin{eqnarray*} \mathcal{M}=\sigma(B_j), j\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ,

Ich nehme an, du meinst eigentlich

$\begin{eqnarray*} \mathcal{M}=\sigma(\{ B_j \bigm| j\in\mathbb{N}\}) \end{eqnarray*}$ .

Ja, dann ist $\begin{eqnarray*} \omega\mapsto P(A|\mathcal{M})(\omega) \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion.

27.05.2012, 15:34

Gast11022013

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Okay, dann verstehe ich nun auch, wieso aus der allgemeinen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auch der diskrete Fall folgt (bzw. dieser sich in die allgemeine Definition einfügt).

Eine Eigenschaft, die erfüllt sein muss, damit es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit handelt ist ja, daß

$\begin{eqnarray*} \int_{G}P(A|\mathcal{G})\, dP=P(A\cap G), G\in\mathcal{G} \end{eqnarray*}$ .

gilt, wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ die Unter-sigma-Algebra sein soll.

Dann gilt ja im diskreten Fall:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap G)=\sum_{k}P(A|B_{i_k})P(B_{i_k}) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} B_{i} \end{eqnarray*}$ eine Partition von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ darstellen und die $\begin{eqnarray*} B_{i_k} \end{eqnarray*}$ bestimmte dieser $\begin{eqnarray*} B_{i} \end{eqnarray*}$ bezeichnen sollen, die ein $\begin{eqnarray*} G\in\mathcal{G} \end{eqnarray*}$ bilden. Da es sich bei $\begin{eqnarray*} \omega\mapsto P(A|\mathcal{G})(\omega) \end{eqnarray*}$ dann, wie Du bestätigt hast, um eine Treppenfunktion handelt, ist die Summe ja identisch mit $\begin{eqnarray*} \int_{G}P(A|\mathcal{G})\, dP \end{eqnarray*}$ .

Ist das korrekt?

Die andere Bedingung ist ja, daß $\begin{eqnarray*} P(A\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ -messbar ist. Das ist offensichtlich erfüllt.

27.05.2012, 15:42

HAL 9000

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Ich hatte meine Antwort mit ergänzenden Klarstellungen fast fertig, da hast du sie zum Glück noch selbst geliefert. Statt mit diesen verwirrenden $\begin{eqnarray*} B_{i_k} \end{eqnarray*}$ hätte ich eher gleich

$\begin{eqnarray*} P(A\cap G) = \sum_{i:\; B_i\subseteq G} P(A \bigm| B_i) P(B_i) \end{eqnarray*}$

geschrieben.

27.05.2012, 15:44

Gast11022013

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Ja, diesen Hinweis nehme ich gerne an, denn so ist es wirklich schöner und klarer.
Vielen Dank.

Dann habe ich das jetzt verstanden, wie der diskrete Fall und der allgemeine zusammenhängen.

Danke Dir!

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