2-elementige Gruppe immer zyklisch?

26.05.2012, 19:32

ChilliJilli

2-elementige Gruppe immer zyklisch?

Meine Aufgabe:
Alle Gruppen mit genau zwei (drei) Elementen sind zyklisch. Wahr oder falsch?

Meine erste Überlegungen:
Eine Gruppe mit genau zwei Elementen ist G= {-1,1} und diese wäre dann auch zyklisch
und eine Gruppe mit genau drei Elementen die zyklisch ist (Z/3Z).

Aber was sagt das dann über 2 bzw. 3 elementige Gruppen im allgemeinen? Hat jemand da einen tieferen Einblick rein?

26.05.2012, 19:39

DHD

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Kennst du den Satz von Lagrange?

26.05.2012, 19:46

ChilliJilli

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Zitat:

Original von DHD
Kennst du den Satz von Lagrange?

Nee noch nicht aber wenn du meinst der hilft, dann google ich den jetzt mal.

26.05.2012, 19:52

DHD

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Wenn er in der Vorlesung noch nicht drankam dann bringt auch googeln nichts.
Die (mit Lagrange) ziemlich banale Fragestellung ließ ja schon darauf schließen, dass der nicht bekannt ist, aber imo sollte der elefant erstmal aus dem Raum.

Eine Gruppe von Mächtigkeit zwei sieht so aus: {e,a}. Zeige, dass a die Gruppe erzeugt.
(steht eigentlich schon da)
Gruppe der Ordnung drei sieht so aus {e,a,b}. a und b erzeugen die Gruppe.(Hinweis warum kann a²=e nicht gelten?)

26.05.2012, 20:15

ChilliJilli

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Zitat:

Original von DHD
Eine Gruppe von Mächtigkeit zwei sieht so aus: {e,a}. Zeige, dass a die Gruppe erzeugt.
(steht eigentlich schon da)

Ich muss ja eigentlich nur ankreuzen, ob die Aussage wahr oder falsch ist, aber zu zeigen wäre ja hier, dass mit $\begin{eqnarray*} a^{n} \end{eqnarray*}$ die Elemente e und a der Gruppe erzeugt werden. Dann muss hier ja $\begin{eqnarray*} a \cdot a = e \end{eqnarray*}$ sein und die Aussage wäre wahr.

Zitat:

Gruppe der Ordnung drei sieht so aus {e,a,b}. a und b erzeugen die Gruppe.(Hinweis warum kann a²=e nicht gelten?)

Und wenn du hier schon sagst a und b erzeugen die Gruppe, muss dann nicht gelten, dass $\begin{eqnarray*} a^{n} \end{eqnarray*}$ auch mal = e ist nur halt nicht unbedingt für n=2?

26.05.2012, 20:24

DHD

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Zitat:

Ich muss ja eigentlich nur ankreuzen, ob die Aussage wahr oder falsch ist,

Wenn du nicht raten willst was anzukreuzen ist musst du zumindest wissen was stimmt. Und dazu solltest du wissen wie die Aussagen zu beweisen sind.

Zitat:

dass mit $\begin{eqnarray*} a^{n} \end{eqnarray*}$ die Elemente e und a der Gruppe erzeugt werden

Die Potenzen von a erzeugen die Gruppe. a^n ist irgendeine Potenz von a.

Zitat:

Dann muss hier ja $\begin{eqnarray*} a \cdot a = e \end{eqnarray*}$ sein

Was nach wie vor zu beweisen statt zu postulieren wäre.