O_K ist freier Z-Modul

28.05.2012, 15:55

mathinitus

O_K ist freier Z-Modul

Hallo,

wie zeigt man, dass für einen algebraischen Zahlkörper K der Ring $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ freier Z-Modul ist?

Danke.

28.05.2012, 16:18

jester.

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$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ ist torsionsfrei und somit frei.

28.05.2012, 18:08

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ ist torsionsfrei und somit frei.

Mir ist durchaus klar, dass Torsionsfreiheit notwendig ist und auch, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ torsionsfrei ist (als additive Gruppe gesehen). Jedoch ist mir noch nicht klar, warum das die Freiheit impliziert. Sei eine Q-Basis von K gegeben, dann können wir ja davon ausgehen, dass sie in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ liegt (nachdem wir sie mit einer ganzen Zahl multipliziert haben). Ist das dann schon eine Z-Basis von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ ? Ich glaube, im Allgemeinen nicht.

28.05.2012, 18:38

jester.

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Wir sprechen doch von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Moduln und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist ein Hauptidealbereich. Wikipedia enthält ein Diagramm mit wichtigen Implikationen zu diesem Thema: http://de.wikipedia.org/wiki/Torsion_%28...onsfreie_Moduln

28.05.2012, 18:46

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
Wir sprechen doch von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Moduln und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist ein Hauptidealbereich. Wikipedia enthält ein Diagramm mit wichtigen Implikationen zu diesem Thema: http://de.wikipedia.org/wiki/Torsion_%28...onsfreie_Moduln

Danke. Ich glaube mir ist nun klar, worauf du mit torsionsfrei hinauswolltest. Ich hatte es zuerst nur nich bedacht. Da $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ abelsche Gruppe und endlich erzeugt ist, ist sie nach dem Rausteilen der Torsionsgruppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ . Die Torsionsgruppe ist aber trivial, also ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet aber gerade freier Z-Modul zu sein. So war es doch gemeint, oder?

29.05.2012, 07:26

jester.

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Im wesentlichen wollte ich darauf hinaus. Jeder torsionsfreie Modul über einem Hauptidealbereich ist frei.

29.05.2012, 08:50

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
Im wesentlichen wollte ich darauf hinaus. Jeder torsionsfreie Modul über einem Hauptidealbereich ist frei.

Dass dem so ist, ist mir jedoch noch nicht offiziell bekannt (also ich habe noch keinen Beweis dafür gesehen). Sehr wohl kenne ich aber die Charakerisierung endlich erzeugter abelscher Gruppen und mit dieser lässt sich doch die Aussage beweisen, wie ich oben versuchte, oder?

29.05.2012, 13:27

jester.

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Ja, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Moduln und Abelsche Gruppen das gleiche sind. Aber mal ernsthaft, wie kann man algebraische Zahlentheorie lernen, ohne den Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über Hauptidealbereichen zu kennen? Das ist LAII (oder spätestens eine Folgeveranstaltung, die Algebra oder sonstwie heißen kann). verwirrt

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