Faktortrennung für sin & cos

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vin97 Auf diesen Beitrag antworten »
Faktortrennung für sin & cos
Faktortrennung des Arguments von Sinus und Kosinus
Zwei kleine mehr oder weniger nützliche Formeln, die ich letztens während einer Busfahrt aufgeschrieben habe.
Da ich diese speziellen Formeln noch nie irgendwo gesehen habe, dachte ich mir, dass ich sie mal kurz hier poste.











MfG ... Vin!

P.S.: Mit komplexen sollte das Ganze auch funktionieren.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktortrennung für sin & cos
Hm, ich würde mal darauf tippen, dass man dass einfach erhält, indem man den binomischen Lehrsatz auf



anwendet und nach Real- und Imaginärteil trennt... verwirrt
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.
Ist auch nichts Kompliziertes dran, ich hab die Formel bloß noch nirgendwo gesehen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Formel für die "Cosinüsse" definiert die sog. Tschebyscheffpolynome, eine ungeheuer wichtige Klasse von Polynomen (man muss dazu nur setzen)... Also insofern ist das schon etwas sehr, sehr Bekanntes... Augenzwinkern
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Davon habe ich ehrlich gesagt noch nie was gehört (bin ja auch erst in der 10).
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die vereinfachte und verbesserte Version:











 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da du "erst in der 10" bist, wollen wir jetzt nicht ganz so streng sein wie sonst und zunächst mal positiv hervorheben, dass die Formeln - nach einer kurzen Überprüfung - offenbar richtig sind... Freude

Trotzdem ein paar Anmerkungen dazu:

1. Inwiefern sich gegenüber deinen ursprünglichen Formeln etwas "vereinfacht" oder gar "verbessert" hat, sehe ich nicht... Es ist einfach eine andere Darstellung, wo der Sinus jetzt nicht mehr vorkommt, dafür halt der Tangens...

2. Es ist eine ganz schlechte Idee 2n durch x zu ersetzen, da man Buchstaben vom Ende des Alphabets üblicherweise nicht als Bezeichner für ganze Zahlen nimmt und ja auch gar kein Grund für diese Substitution vorliegt... Schreib einfach überall 2n statt x...

3. Die zweite Formel gilt selbst dann noch, wenn x nicht gerade ist, wenngleich man dann x/2 durch ersetzen musst...

4. Und schade, dass du meinen Hinweis mit den Tschebyscheffpolynomen *) nicht weiter verfolgt hast... Was nämlich (für die Praxis!) wirklich etwas bringt, ist der Versuch allein durch Potenzen vom Cosinus darzustellen..

Aber noch einmal, wenn du dir in deinem Alter die Mathematik als Zeitvertreib auserkoren hast, ist das prinzipiell mal eine gute Sache... Freude

*) Schau dir besonders diese Formel



aus dem Link genauer an, das ist nämlich eine von "deinen", wenn du darin x durch und durch ersetzt...
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass ich erst in der 10 bin habe ich nur geschrieben, um zu erklären warum ich von den Tschebyscheffpolynomen noch nie etwas gehört habe, ansonsten wollte ich nicht dadurch irgendwie mögliche Fehler entschuldigen.

1. Vereinfacht haben sich die Formeln, weil einige Terme hinter dem Summenzeichen nun ausgeklammert wurden, sodass unnötige Rechnungen vermieden werden.

2. Ok, darauf werde ich in Zukunft achten.

3. Das verstehe ich nicht ganz, wie würde denn eine solche Summe aussehen, die bis zu einer nicht-ganzen Zahl geht und was genau bedeutet der Ausdruck ?

4. Naja, mir auf Wikipedia Formeln anzuschauen bringt mir nicht viel. Ich kann sie dann zwar umformen und damit rechnen aber solange ich nicht verstehe woher diese Formeln kommen, bin ich unzufrieden und benutze sie erstmal nicht. Aber das sieht wirklich sehr interessant aus.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vin97
3. Das verstehe ich nicht ganz, wie würde denn eine solche Summe aussehen, die bis zu einer nicht-ganzen Zahl geht und was genau bedeutet der Ausdruck ?

Die Antwort darauf hab ich mehr oder weniger oben schon in der Fußnote gegeben, nämlich



Und bedeutet die Rundung der reellen Zahl x auf die nächstkleinere ganze Zahl... Augenzwinkern
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist klar. Es ging nur um das . Benutzt man das also immer, wenn bei einer Summe die "Grenze"/"Endwert" eine nicht-ganze Zahl sein könnte (denn man könnte ja genau so gut aufrunden)?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man rundet die obere Grenze einer Summe immer auf die nächste ganze Zahl ab, wenn sie nicht ohnehin ganz ist... Durch Aufrunden würde ein neuer Summand dazukommen, der vorher nicht in der Summe enthalten war...
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Sind ungerade bei der Formel für mit der Veränderung auch möglich?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vin97
Sind ungerade bei der Formel für mit der Veränderung auch möglich?

Sollte möglich sein... Aber seltsam, dass du mich das fragst, wo ich doch bisher glaubte, du hättest dich auf Formeln von diesem Typ und ihre Überprüfung spezialisiert... Big Laugh
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

"spezialisiert" Big Laugh
Ich dachte auch, dass es geht, aber bis vor wenigen Tagen dachte ich auch noch, dass nur gerade möglich sind. Deshalb frage ich lieber noch bei jemandem nach, der mehr Ahnung hat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Richtigkeit einer derartigen Formel überprüfen möchtest, dann plotte doch einfach die Differenz aus linker und rechter Seite der Formel... Wenn da was anderes als die x-Achse dabei rauskommt, stimmt was nicht, andernfalls ist es zumindestens ein starkes Indiz, dass die Formel für das überprüfte n in Ordnung war... Augenzwinkern
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Um das hier abzuschließen; Nochmal alles zusammengefasst und verbessert:











vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine kleine Folgerung:





vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
dass die Formeln - nach einer kurzen Überprüfung - offenbar richtig sind... Freude

Nicht nur offenbar:
Die Formel für ist ja schon bekannt und bewiesen (durch das Tschebyschow-Polynom). Die Formel für , die noch nicht bekannt war, konnte ich jetzt auch beweisen. Ähnlich wie hier habe ich vollständige Induktion und Fallunterscheidung angewendet. Lustigerweise ist der Beweis auch genau 13 Seiten lang.
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