Vektorraumdefinition und Basisbestimmung

29.05.2012, 23:25

Optiwell2

Vektorraumdefinition und Basisbestimmung

Hallo Leute,

ich löse zur Zeit einige Aufgaben über Vektorräume.

Die erste lautet:

Prüfen Sie, ob die Menge V mit den angegebenen Verknüpfungen ein Vektorraum ist.

a.) V= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} | a,b \mathbb R )<br /> <br /> <br /> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + c \\ b + d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

; r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r*a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgrund der zweiten Verknüpfung gehe ich davon aus, dass b = 0 ist, damit r*b = b ist (r*0=0)

Somit würde das für die Vektoren bedeuten:

r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ 0 \end{pmatrix} \neq 0 \forall r, s, \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ somit wären die Vektoren nicht linear unabhängig und man hätte keinen Vektorraum, oder?

Ich finde diese ganze Argumentation und den Lösungsweg sehr seltsam.

Wie würdet ihr an solch eine Aufgabe herangehen und ist meine Begründung richtig?

Liebe Grüße und vielen Dank Augenzwinkern

29.05.2012, 23:59

Dustin

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Hi,

also viel Richtiges ist da leider noch nicht dabei unglücklich

Zitat:

Aufgrund der zweiten Verknüpfung gehe ich davon aus, dass b = 0 ist

Nein. Da steht doch in der Angabe, dass a und b beliebige reelle Zahlen sein dürfen! Die Skalarmultiplikation ist hier einfach so definiert, dass
$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cdot a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für alle a,b € R gilt.

Zum Beispiel ist nach dieser Definition
$\begin{eqnarray*} 3*\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 15 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollst du prüfen, ob die Menge V mit der (normalen) Addition und dieser speziellen Definition der Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.

Wie ist denn ein Vektorraum definiert? Mit linearer Unabhängigkeit hat das nämlich nichts zu tun...
Diese Frage müssen wir zuerst klären.

LG Dustin

30.05.2012, 13:51

Optiwell2

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oAhh k.

Das macht schonmal Sinn.

Für die Definition eines Vektorraums gelten schonmal die Axiome der Addition und der Skalaren Mustiplikation.

Addition:

(1) Abgeschlossenheit
(2) Kommutativgesetz
(3) Assoziativgesetz
(4) neutrales Element
(5) inverses Element

Sk. Multiplikation:

(6) Abgeschlossenheit
(7) Assoziativgesetz
(8) Distributivgesetz für Zahlen
(9) Distributivgesetz für Vektoren
(10) neutrales Element = 1

Müsste ich jetzt sschauen ob diese 10 Vorraussetzungen mit den angegebenen speziellen Definitionen übereinstimmen?

Mich macht bei der speziellen Definition der skalaren Multiplikation besonders die Distributivgesetze stutzig.
Normal müsste es doch heißen:
$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cdot a \\ r\cdot b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

anstatt:
$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cdot a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.05.2012, 23:10

Dustin

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Na schon viel besser smile

Deine 10 Axiome stimmen schonmal. Da die Addition hier wie die "normale" Vektoraddition definiert ist, treffen die Axiome 1 bis 5 also jedenfalls zu.

Zitat:

Müsste ich jetzt sschauen ob diese 10 Vorraussetzungen mit den angegebenen speziellen Definitionen übereinstimmen?

Ja. Wenn du zeigen kannst, dass alle Axiome erfüllt sind, handelt es sich um einen Vektorraum. Wenn allerdings ein Gegenbeispiel existiert, bei dem eins der Axiome nicht gilt, handelt es sich um keinen Vektorraum.

Zitat:

Normal müsste es doch heißen:
$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cdot a \\ r\cdot b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
anstatt:
$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cdot a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schon. Dass das dann ein Vektorraum ist, wissen wir ja schon.
Es gibt aber nicht nur diesen einen bekannten Vektorraum, bei dem Vektoren so addiert und multipliziert werden, wie man es aus der Schule kennt. Ein Vektorraum wird durch die Axiome 1 bis 10 festgelegt. Solange diese Axiome erfüllt sind, darf man Addition und Skalarmultiplikation auch völlig anders definieren als gewohnt.
Deine Aufgabe besteht darin herauszufinden, ob die Axiome auch dann erfüllt sind, wenn man die Skalarmultiplikation so definiert wie in dieser Aufgabe.

Versuche also ein konkretes Gegenbeispiel zu finden, wo eins der Axiome nicht gilt. Damit wäre bewiesen, dass es sich um keinen Vektorraum handelt.

LG Dustin

30.05.2012, 23:22

Dustin

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Noch ein Hinweis: Du hast ja geschrieben, dass dich v.A. die Distributivgesetze stutzig machen. Genau diese beiden Axiome, also bei dir Nummern 8 und 9, sind hier auch nicht erfüllt (und deshalb handelt es sich auch um keinen Vektorraum) Was also getan werden muss, ist ein Gegenbeispiel finden.

31.05.2012, 16:00

Optiwell2

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Super, vielen Dank.

Hab es so gemacht und konnte diese sowie andere ähnliche Aufgaben nach dem Prinzip lösen.

Ich hätte da aber noch eine kleine letzte Stelle an der ich hänge:

V= ( f/ f(X) = ax + b mit a, b, $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ sei der Vektorraum der linearen Funktionen mit gewöhnlicher Addition und skalarer Multiplikation. Geben sie die Basis von V an.

Ich kenne lediglich die kanonische Basis Von mehrdemensionalen Spaltenvektoren.

Wie gehe ich denn überhaupt an so eine Aufgabe heran?

01.06.2012, 10:27

Dustin

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Hier hast du gleich mal einen Beweis dafür, dass ein Vektorraum auch völlig anders aussehen kann als eine Menge von"Vektoren, wie man sie aus der Schule kennt".

Zuerst einmal müssen wir uns natürlich fragen, was eine Basis eines Vektorraumes überhaupt ist. Das ist ja eine Menge von Vektoren, die zwei Bedingungen erfüllen muss, nämlich...?

Weiterhin ist es durchaus möglich, den gegebenen Vektorraum linearer Funktionen auf "bekanntes Gebiet" zu übertragen, indem man eine lineare Funktion als Spaltenvektor auffasst.

Frage: Wieviele unabhängige Parameter hat der gegebene Vektorraum? (nicht kompliziert denken, du kannst es unmittelbar am Vektorraum ablesen) Diese Anzahl ist die Dimension des Vektorraums.

Wenn du beide Fragen beantwortet hast, kommst du vielleicht schon selbst weiter. Ansonsten frag natürlich gern nochmal!

LG

03.06.2012, 21:19

Optiwell2

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Ok,

vielen Dank für die super kompetente Antwort.

In der Tat ist die Sache so einfach, dass man zu kompliziert denkt.

Im Grunde geht es bei der Funktion nur darum meine Parameter a und b so beliebig zu wählen, dass jeder Wert erreicht werden kann.

z.B. 1*x + 1 = y

04.06.2012, 00:32

Dustin

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Okay, genau. Es gibt also die voneinander unabhängigen, frei wählbaren Parameter a und b. Wie groß ist also die Dimension des Vektorraums? Und wie sieht dann konkret die Basis des Vektorraumes aus?

LG

04.06.2012, 13:53

Optiwell2

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Die Dimenson wäre also $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , weil wir zwei Informationen, 2 Parameter haben.

Die Basis wäre konkret:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} * X + \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.06.2012, 20:07

Dustin

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Hi,
entschuldige bitte, dass ich gestern nicht on kommen konnte.

Also:
Der R² wäre nicht die Dimension, sondern der Vektorraum, mit dem du den gegebenen Vektorraum linearer Funktionen "vergleichen" kannst. (Man nennt das Isomorphie)
Die Dimension wäre 2.
eine Basis muss einfach aus
Deine "Basis" geht zwar grob in die richtige Richtung, aber das muss noch präziser werden. Eine Basis besteht aus Vektoren, die linear unabhängig sind und den gegebenen Vektorraum "aufspannen".
Hier brauchst du zwei Vektoren für die Basis (da die Dimension =2 ist). Am einfachsten die Standardbasis:

--> Welche zwei Vektoren bilden die Standardbasis des R²?

--> Welchen linearen Funktionen entsprechen diese beiden Vektoren in unserem konkreten Vektorraum?

Diese beiden Fragen müssten wir klären.

LG DUstin

06.06.2012, 22:58

Optiwell2

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Ah ok, danke für den Tipp.

Die Standardvektoren für eine R² Basis lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Funktion daraus müsste doch eigentlich lauten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} * x \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} *y = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

VIelen Dank smile

07.06.2012, 01:03

Dustin

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RE: Vektorraumdefinition und Basisbestimmung

Zitat:

Die Standardvektoren für eine R² Basis lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jo.

Zitat:

Die Funktion daraus müsste doch eigentlich lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} * x \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} *y = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein. Da hast du noch nicht verstanden, wie die Analogie zwischen dem R² und dem Vektorraum der linearen Funktionen aussieht.

Die Vektoren des R² entsprechen NICHT $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . x und y nehmen ja auch keine konkreten Zahlenwerte an: Ein "Vektor" im Vektorraum der linearen Funktionen ist zum Beispiel die Funktion y=3x+4. Ein "Vektor" ist hier also eine komplette Funktion und nicht ein einzelner Funktionswert!
x und y sind demnach feste Bestandteile der Funktionsgleichung. Was die Funktion (d.h. den "Vektor") festlegt, sind dagegen die Parameter a und b:

Für a=3 und b=2 lautet der Vektor y=3x+2
Für a=-5 und b=0 lautet der Vektor y=5x
usw.
(also nochmal zur Verdeutlichung: ein Vektor ist hier eine komplette Funktionsgleichung)

Die Einträge der Vektoren im R² entsprechen also nicht x und y, sondern a und b!
Wenn du das verstanden hast, dann kannst du jetzt die von dir angegebene Standardbasis des R² auf den Vektorraum linearer Funktionen übertragen.

Welche Funktion entspricht also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und welche entspricht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

10.06.2012, 12:46

Optiwell2

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Entschuldigung ersteinmal, dass ich erst so spät antworte, aber ich war die letzte Zeit nicht da.

So langsam versteh ich wie das ganze aussieht.

Für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist a=1 und b=0
somit müsste die Funktion y=1x lauten.

Für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist a=0 und b=1
somit ist die Funktion hier y= 1

Die Funktion müsste dann doch so lauten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} * x + \begin{pmatrix} 0\\ b \end{pmatrix} = y \end{eqnarray*}$

Danke smile

13.06.2012, 12:27

Dustin B

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Bitte

Bring mir aber nicht die Basis mit irgendwas anderem durcheinander (weil du immer die Funktion aufstellen willst)
Die Basis besteht aus den beiden "Vektoren" (hier sind Vektoren lineare Funktionen)
f(x)=x und f(x)=1
Das sind die Basisvektoren, sonst nix.

Zitat:

Die Funktion müsste dann doch so lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} * x + \begin{pmatrix} 0\\ b \end{pmatrix} = y \end{eqnarray*}$

Nein. Eine Funktion (d.h. ein Vektor aus dem Vektorraum) hat die Form wie in der Angabe:
y=f(x)=ax+b

Der Vergleich dieses Vektorraums ist wirklich nur ein Vergleich (mathematisch: ein Isomorphismus). Man fasst bei diesem Vergleich a und b als Einträge eines zweidimensionalen Vektors auf. Das ist alles.

Nochmal zum Vergleich:

Vektorraum linearer Funktionen <----> Vektorraum R²
spezielle Fkt. (zB f(x)=5x+3) <---> spezieller Vektor (in dem Fall (5 3))
Parameter a,b € R <---> Einträge des Vektors (a b)
Funktion f(x)=ax+b <---> Vektor (a b)
Basis {f(x)=x und f(x)=1} <----> Basis {(1 0) und (0 1)}

Logo? Augenzwinkern

(PS Ich bin Dustin, nur zu faul zum Einloggen ;D)

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