Treppenfunktion und Skalarprodukt

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SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »
Treppenfunktion und Skalarprodukt
Hallo! Wink
Ich habe mal wieder Fragen zu einer Aufgabe:
Also so wie ich das verstanden hab ist und .

Die Treppenfunktion ist so definiert, dass jeden Wert seperat mit abbildet, nur die letzten 2 Elemente also und werden beide auf abgebildet, d. h. es ist egal welchen Wert bzw. b hat nehme ich an?

D. h. die Funktion steigt streng monoton, bis zu den letzten beiden Gliedern, die dann beide den gleichen y-Wert haben.

Mein Problem ist jetzt zu verstehen, was der Rest bedeuten soll, und wie man das angehen sollte.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe! smile
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Treppenfunktion und Skalarprodukt
Anhand der Skizze wird deutlich wie die Funktionen zu verstehen sind.
Die Intervalle für eine "Treppenstufe" sind für jede Funktion gleich, nur die Funktionswerte dort unterscheiden sich. Vereinfacht könnte man die Funktionsverläufe als Vektor darstellen, z.B. in der Skizze



So wird auch die Anwendung eines Skalarprodukts darauf verständlicher. Die zusätzliche Multiplikation mit den Intervallbreiten soll daruf hinauslaufen, dass man jede Funktion als Treppenf. mit unendlich kleinen Intervallbreiten verstehen und als Vektor darstellen kann. Jedes Vektorelement entspricht dem Funktionswert eines Intervalls. Wie beim "normalen" Skalarprodukt multipliziert man die einzelnen Werte und addiert sie dann. Hat man ein langes Intervall mit identischem Funktionswert kann man statt der Addition
von gleichen Werten auch mit der Intervallbreite multiplizieren.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ja so sieht mans sehr gut.
Wie fange ich jetzt am besten mit dem Beweis an?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Treppenfunktion und Skalarprodukt
Zeige, dass dieses Produkt dem Assoziativgesetz mit Skalaren, Distributiv- und Kommutativgesetz genügt.

Z.B gilt für beliebige nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok.

1. Vorschrift
a) Kommutativität:
b) Assoziativität:
c) Distributivität: Ich habe nur 2 Vektoren, bei der Distributivität hat man doch aber immer 3 Vektoren (!)? Oder darf ich da auch Skalare, also die beiden x, mit einbeziehen?

2. Vorschrift
a) Kommutativität:
Hier hat man jetzt ein Problem, weil ich bräuchte ja irgendwo ein , aber das bekomme ich durch Umformungen ja gar nicht hin?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Treppenfunktion und Skalarprodukt
Zu zeigen ist Assoziativgesetz mit Skalaren s. http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Eigenschaften
(r als Skalar):



Zitat:
c) Distributivität: Ich habe nur 2 Vektoren,

Es ist von der Menge aller Treppenfunktionen die Rede, nicht nur von f und g.

Du kannst f und g natürlich auch addieren und mit einer Funktion h skalar multiplizieren, um zu zeigen:


 
 
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Treppenfunktion und Skalarprodukt
1. Vorschrift
Assoziativität: ist doch mein Skalar oder nicht?
Dann ist die Form ja r*(f.g). Also ist es doch Assoziativität, wenn ich das f in die Klammer mit dem x reinziehe?

Galt der letzte Hinweis für die Distributivität? h wäre hier doch ?
Weil hier liegt meine Funktion ja in der Form vor, und die muss ich jetzt umformen um damit Distributivität zu zeigen.
Darf ich da das * zwischen f und g einfach gegen ein + austauschen?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Treppenfunktion und Skalarprodukt
Zitat:
Assoziativität: ist doch mein Skalar oder nicht?


Nein. Dieser Faktor taucht bei jeder Skalarmultiplikation auf. Indem du einfach ausmultiplizerst zeigst du nicht, dass z.B. (2f).g =2(f.g) ist, weil die 2 oder allgemein ein r gar nicht vorkommt!

Nimm doch einfach die Beispielfunktionen, die ich vorgegeben habe und wende die entsprechenden Operationen darauf an.

Zitat:
h wäre hier doch ?

Nein. h ist genauso definiert wie f und g, nur eben mit anderen Werten für h0,h1, etc.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich probiers nochmal:
1. Vorschrift
1) Kommutativität: Hatten wir erledigt
2) Assoziativität: Hast du das nicht schon hingeschrieben? Sei r in R;
3. Distributivität: Sei h eine Funktion, die [was schreibe ich hier am bestens als Def. für h auf?], dann gilt (f+g).h=f.h+g.h (Das hast du ja auch schon hingeschrieben?)

Ist es diesmal korrekt?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hast du das nicht schon hingeschrieben?


Hingeschrieben schon, aber nicht bewiesen:


Nimm mal an,n=2 sowie mit



demzufolge:



Nun berechne mit diesen Werten
Anschließend noch und
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ass.: Ah, jetzt. Warum eigentlich mit 2 und nicht gleich mit r in R? Soll ja für alle reellen Zahlen gelten.

Distributivität:

1)
2)
3)

2+3=101

Sollten da nicht die gleichen Werte rauskommen? verwirrt
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Da kommt bei mir 101 raus.

Jetzt kannst du es für beliebige Werte zeigen.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Also









?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du gezeigt, dass

Freude
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit hab ich ja dann den ersten Teil abgeschlossen, vielen Dank schonmal Freude
Bei der anderen Vorschrift nehme ich mal an gibts einen Widerspruch?
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an da gibt es einen Widerspruch, sehe nur grade nicht bei welchem von 1-3?
1 ja auf jeden Fall nicht.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt denn (2):?



Statt "2" kannst du auch "r" nehmen.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das habe ich mir mittlerweile auch gedacht smile

Falls du das heute noch siehst:
Bräuchte ganz dringend die Lösung der d) von hier:
http://s7.directupload.net/images/120604/6f3ukz26.jpg

Hocke da jetzt schon wieder eine Stunde dran und komme auf kein Ergebnis :/
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nur die Eigenschaft

, etc. ausnutzen.

Beide Seiten quadrieren und dann Distributivgesetz anwenden:

, usw.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Hab so viele Sachen versucht, aber auf das komme ich mal wieder nicht Big Laugh

Vielen, vielen Dank dann nochmals für die tolle Hilfe! Wink
Hat mir wirklich sehr weitergeholfen.
Mi-Troll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hab so viele Sachen versucht,...

Studium beenden und Friseur werden ...
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber dumm in Mathe bleiben und wie geplant Physiker werden Augenzwinkern
Mi-Tro|| Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.

Jedenfalls gibt es ne Menge, womit man glücklich ist, ohne ein Talent für Mathe zu haben. - Physik gehört dazu ? ok. LOL Hammer
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