Geradenschar im R³

31.05.2012, 10:17

Fibonaccier

Geradenschar im R³

Meine Frage:
Gegeben ist eine Geradenschar:

$\begin{eqnarray*} g_a:\vec x = \left( \begin {array} {c}6 \\ 5 \\ 8\end {array} \right)+ \lambda \left( \begin {array} {c}-4a \\ 1 \\ 3a\end {array} \right),a,\lambda\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

durch den Punkt $\begin{eqnarray*} A=(6;5;8)^T \end{eqnarray*}$ sowie die Gerade

$\begin{eqnarray*} h:\vec x = \left( \begin {array} {c}10 \\ 0 \\ 5\end {array} \right) + \mu\left( \begin {array} {c} -4 \\ 0 \\ 3\end {array} \right),\mu\in\mathbb{R}. \end{eqnarray*}$

a.) Zeigen Sie, dass der Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht auf $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ liegt.

b.) Weisen Sie nach, dass jede Schargerade $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ die Gerade $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ schneidet, und dass durch jeden Punkt von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine Schargerade geht.

c.) Begründen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, dass alle Geraden $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ in einer Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegen. Stellen Sie eine Gleichung von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ in Koordinatenform auf.

d.) $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sie diejenige Gerade durch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegt, aber nicht zur Geradenschar $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ gehört. Welche besondere Lage haben $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zueinander? Bestimmen Sie eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

e.) Der Punkt $\begin{eqnarray*} B = (10;0;5)^T \end{eqnarray*}$ liegt auf der Geraden $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Durch den Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wird die zu $\begin{eqnarray*} \vec {AB} \end{eqnarray*}$ senkrechte Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ gelegt. Sie schneidet $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

f.) Die Schnittgerade von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ gehört zur Schar der Geraden $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie den zugehörigen Prarmeterwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ansatz zu a.)

Ich benutze an dieser Stelle folgende Formel, um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{\left|\vec a\times\left(\vec r_Q - \vec r_1\right)\right|}{\left|\vec a \right|} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ der RV der Geraden $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \vec{r_Q} \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor des Punktes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {r_1} \end{eqnarray*}$ dem Ortsvektor der Geraden entspricht.

$\begin{eqnarray*} \Ra d = \frac{\left|\left( \begin {array} {c} -4 \\ 0 \\ -3\end {array} \right) \times \left( \left( \begin {array} {c} 6 \\ 5 \\ 8\end {array} \right) - \left( \begin {array} {c} 10 \\ 0 \\ 5\end {array} \right) \right)\right|}{\left| \left( \begin {array} {c} -4 \\ 0 \\ 3\end {array} \right)\right|} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf den Wert 5 für d. Somit ist $\begin{eqnarray*} A \notin h \end{eqnarray*}$ .

Ansatz zu b.)

Soweit ich weiss, muss man zwei Geraden gleichsetzen um deren Schnittpunkt zu bestimmen.
Somit kommt man in meinen Augen auf ein Gleichungssystem mit 3 unbekannten und 3 Gleichungen.

Dies würde dann folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} 6-4\lambda a = 10-4\mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5+\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8+3\lambda a = 5+3\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Ra \lambda = 5 \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann auf folgendes Gleichungssystem mit den beiden restlichen unbekannten:

$\begin{eqnarray*} 20a+4\mu=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -15a-3\mu = -3 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich versucht auf die Stufenform zu kommen, indem ich zu der II. Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ mal der I. Gleichung addiert habe.

$\begin{eqnarray*} \Ra \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 20a+4\mu=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0a+0\mu=0 \end{eqnarray*}$

Habe ich mich dort verrechnet oder ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar?

31.05.2012, 10:37

riwe

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