Schnittmenge von Gerade und Ebene?

31.05.2012, 12:45

Saumarez

Schnittmenge von Gerade und Ebene?

Hallo,
das ist mein erster Post hier und ich hoffe der Titel ist aussagekräftig genug.

Ich hab' heute mal damit begonnen für den Zweitversuch Lineare Algebra I zu lernen und habe da folgende Aufgabe:

Bewerten sie zu den Vektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\0 \end{array}\right) \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\0 \end{array}\right) \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} \lbrace x=\vec{v}_1+\lambda\cdot\vec{v}_2\rbrace \cap \text{span}\lbrace\vec{v}_2\text{,}\vec{v}_3\rbrace=\emptyset \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Soweit die Aufgabe. Da es sich um eine alte Klausur handelt, kann ich auch schon sagen, dass diese Aussage wahr sein soll. Nur hab ich noch nicht ganz gerafft, warum dem so ist.

Ich hatte jetzt folgende Vermutung, dass es sich beim span von $\begin{eqnarray*} \vec{v}_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}_3 \end{eqnarray*}$ um eine Ebene durch den Ursprung handelt (da $\begin{eqnarray*} \vec{v}_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind?) und beim ersten Teil der Behauptung um eine Geradengleichung mit dem Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v}_2 \end{eqnarray*}$ handelt.
Der Schnitt dieser beiden Mengen ist leer, weil ja weil... Da wüsst ich jetzt nicht, was man weitermachen könnte.

Der Schnitt beider Mengen ist leer, wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene steht? Aber da ja die Gerade den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v}_2 \end{eqnarray*}$ hat und dieser auch in der Ebene liegt, liegt auch die Gerade in der Ebene...
Aber bevor ich mich um Kopf und Kragen rede, hoffe ich ihr könnt mir einen Denkanstoß geben.

Vielen Dank schon mal,
Saumarez

31.05.2012, 15:00

Helferlein

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Wie wäre es mit Ausrechnen der Schnittmenge?
Bringe hierzu die Ebene am besten in Koordinatenform.

31.05.2012, 17:57

Saumarez

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Okay, das hieße ich bilde aus den Vektoren v2 und v3 das Kreuzprodukt und erhalte so den Normalenvektor n.

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\0\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Damit sieht die Koordinatenform der Ebene so aus? Beim Wert für d war ich mir nicht sicher.

$\begin{eqnarray*} \text{1x-1y=0} \end{eqnarray*}$

Und wie genau rechne ich die Schnittmenge jetzt aus? Einfach die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen? Also das x aus der Ebenengleichung durch die Geradengleichung ersetzen? Ich steh gerade vollkommen auf dem Schlauch.

31.05.2012, 19:02

Helferlein

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Die Rechnung stimmt.
Das x oben ist ein Vektor mit den Koordinaten x und y, die Du in die Gleichung einsetzten musst. Das hast Du etwas unglücklich gewählt. Besser wäre es den Vektor v zu nennen.

01.06.2012, 11:16

Saumarez

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Okay... Ich hab jetzt bei der Geradengleichung die letzte Zeile der Vektoren rausgenommen, weil die beide 0 sind, sodass die Geradengleichung jetzt im R² liegt.

Eingesetzt sieht das dann so aus?
$\begin{eqnarray*} x-y=0 \end{eqnarray*}$
Für x setz ich jetzt die Geradengleichung ein und erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}=y \end{eqnarray*}$

Kann ich damit schon sagen, dass die Menge leer ist, da y zwei Werte zugewiesen werden, was nicht gehen kann und dadurch keine eindeutige Lösung vorliegt und damit die Schnittmenge leer ist?

01.06.2012, 12:54

Helferlein

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Noch einmal: Du hast $\begin{eqnarray*} \vec x=\vec{v_1}+\lambda\vec{v_2}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In deiner Rechnung benutzt Du x aber einmal als Vektor und einmal als Koordinate des Vektors. Das funktioniert nicht, weswegen ich ja auch vorschlug den Vektor nicht $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ zu nennen.

01.06.2012, 14:13

Saumarez

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Ah okay, sorry.

Das heißt also anstatt

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{v}_1+\lambda\vec{v}_2=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\vec{v}_1+\lambda\vec{v}_2=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw mit den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus dann die Zeilen für x und y in die Ebenengleichung eingesetzt. z fällt weg, sieht das ganze dann so aus:

$\begin{eqnarray*} x-y=0<br /> 1+\lambda1-\lambda1=0<br /> 1=0 \end{eqnarray*}$

Und damit ist jetzt nachgewiesen, dass die Schnittmenge leer ist?

01.06.2012, 16:40

Helferlein

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Ja, hast Du

01.06.2012, 16:57

Cordovan

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Noch einfacher ist es, wenn man schnell zeigt, dass $\begin{eqnarray*} v_1\not\in\operatorname{span}\{v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ gilt (das sieht man dem LGS sofort an), dann folgt die Behauptung direkt.

01.06.2012, 18:10

Saumarez

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Okay danke für die Hilfe. Da ist noch viel zu tun bis zur Klausur verwirrt

@Cordovan: Das würde man wie zeigen?

01.06.2012, 19:00

Dopap

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Zitat:

Original von Saumarez
@Cordovan: Das würde man wie zeigen?

da offline, helf ich mal aus:

Wenn $\begin{eqnarray*} span\{\vec v_2,\vec v_3\} \end{eqnarray*}$ = Menge der Linearkombinationen = Ebene durch Ursprung = Unterraum sein sollte(?),

dann nur prüfen, ob die $\begin{eqnarray*} \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, z.B. ob die Determinante der Matrix aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder ob die Matrix den Rang 3 hat.

01.06.2012, 19:30

Cordovan

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Das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} v_1=\lambda v_2+\mu v_3 \end{eqnarray*}$ führt nach der dritten Zeile erst auf $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ , die zweite Zeile liefert $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ und die erste Zeile dann den Widerspruch.

Da also $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ nicht in der Ebene liegt, der Richtungsvektor der gleiche ist wie einer der beiden Vektoren, die die Ebene erzeugen, sind Gerade und Ebene parallel und schneiden sich folglich nicht.

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