Verständnisfrage zu Wurzeln

31.05.2012, 16:01

Alex1

Verständnisfrage zu Wurzeln

Hab eine kurze Verständinisfrage.

Und zwar verste ich nicht genau warum $\begin{eqnarray*} sqrt(4)=2 \end{eqnarray*}$ sein soll und $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ als Lösungen 2 und -2 hat. Obwohl man ja das gleiche macht.

31.05.2012, 16:04

Gast11022013

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Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist deine Frage wieso die Wurzel (augenscheinlich) nur eine Lösung hat wärend $\begin{eqnarray*} x^2 = 4 \end{eqnarray*}$

2 Lösungen hat.

Die Wurzel aus 4 hat ebenfalls 2 Lösungen $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$

31.05.2012, 16:09

Alex1

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Ja, das war die Frage. Gut wenn das so ist bin ich beruhigt. Maxima zeigt mir bei der Wurzel aus 4 nämlich nur 2 an und in meinem Mathebuch wird auch nur 2 als Lösung angegeben obwohl die Aufgabe im Bereich der reelen Zahlen ist.

Manchmal macht so ein Kram einfach nur verrückt...

Danke für die schnelle Antwort

31.05.2012, 16:11

IfindU

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@Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} \sqrt 4 = 2 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$ .

Dass die Wurzel nur die positive Zahl ausspuckt, hat damit zu tun, dass man die Wurzel gerne als (stetige) Funktion auffassen würde. Deshalb wird jedem x nur ein $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ zugewiesen.

Natürlich könntest du die Wurzel auch so definieren:
$\begin{eqnarray*} \sqrt x := \begin{cases} \text{positive Lösung von } y^2 = x, & x \in \mathbb Q^+ \\ \text{negative Lösung von } y^2 = x, & x \in \mathbb R^+ \backslash \mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Aber die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ hat dann keine schönen Eigenschaften mehr, weder stetig, differenzierbar, noch Riemann-integrierbar - die man sich alle künstlich eingehandelt hat.

Natürlich könnte man auch
$\begin{eqnarray*} \sqrt x := " \text{negative Lösung von } y^2 = x" \end{eqnarray*}$ definieren. Dann hat man wieder alle schönen Eigenschaften, aber man kann nicht mehr so schön damit rechnen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt {4} \cdot \sqrt{4} = (-2)\cdot(-2) = 4 \end{eqnarray*}$ .
Aber
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \cdot 4} = \sqrt {16} = -4 \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt a \sqrt b \neq \sqrt {ab} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sqrt a \sqrt b = - \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$
Auch hier handelt man sich Sachen ein die man ungerne haben will. Es bleibt also nicht viel Wahl.

31.05.2012, 16:12

Gast11022013

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Manchmal wird -2 als Lösung nicht aufgeführt, weil es nicht im Definitionsbereich liegt.

Zum Beispiel wenn man mit dem Satz des Phytagros arbeitet und du erhältst

$\begin{eqnarray*} c^2=4 \end{eqnarray*}$

und ziehst dann die Wurzel.

Dann macht -2 als Lösung ja eigentlich keinen Sinn, weil es ja keine negativen Längen gibt.

Ansonsten gibt es beim Wurzelziehen immer 2 Lösungen. Solange die Wurzel "gerade" ist.

Wäre es eine Ungerade Wurzel zum ziehen also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] {8} \end{eqnarray*}$

Gäbe es keine 2 Lösungen sondern nur eine.
Hier könnte man auch aus einer negativen Zahl die 3te (5,7,9,.......) Wurzel ziehen.

Falls das nicht bekannt war.
smile

@ IfindU:

Verstehe ich nicht ganz. Ist die ganze Geschichte in der Schulmathematik, dass eine Wurzel 2 Lösungen hat eine "Lüge" ´??

31.05.2012, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Ansonsten gibt es beim Wurzelziehen immer 2 Lösungen. Solange die Wurzel "gerade" ist.

Nein, nein, nein, nein - hör bitte auf, hier Unsinn zu erzählen:

Man muss deutlich unterscheiden zwischen den (für a>0 zwei) Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=a \end{eqnarray*}$ einerseits, sowie der eindeutig definierten Wurzel $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ andererseits! Das hat IfindU doch deutlich herausgestellt - es wäre schön, wenn du dir das durchliest statt es zu ignorieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} \end{eqnarray*}$ bezeichnet für nichnegativ reelles $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und natürliches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte nichtnegative reelle Lösung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n = a \end{eqnarray*}$ .

31.05.2012, 16:22

Gast11022013

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Ich habe meinen Post erst später abgeschickt. Ich habe es vorher nicht gesehen.

Sry das ich nur mein Wissen aus der Schulmathematik habe und kein Promovierter Mathematiker bin.

31.05.2012, 16:25

Mystic

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Zitat:

Original von Gmasterflash
@ IfindU: verwirrt

Verstehe ich nicht ganz. Ist die ganze Geschichte in der Schulmathematik, dass eine Wurzel 2 Lösungen hat eine "Lüge" ´??

Nanana, jetzt nur nicht übertreiben... Big Laugh

Es stimmt zwar, dass im Bereich der Schulmathematik viele Lehrer des Unterschied zwischen dem Wurzelziehen aus 4, was natürlich nur 2 liefert, und der Lösung von x²-4=0 mit dem beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm 2 \end{eqnarray*}$ nicht kennen bzw. kapieren... Ich selbst habe in dieser Sache schon viele Diskussionen "ausgefochten" , u.a. auch hier und sogar mit Moderatoren und langjährigen Usern (nomina sunt odiosa!)... Aber ich würde doch meinen, dass die Lehrer, welche in dieser Sache Bescheid wissen und keinen Unsinn in die Welt setzen, noch in der Überzahl sind... Augenzwinkern

31.05.2012, 16:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Sry das ich nur mein Wissen aus der Schulmathematik habe und kein Promovierter
Mathematiker bin.

Immer wieder dieselbe dämliche Masche, solche einfachen Sachen dann als überhöht darzustellen. Wenn man einen vernünftigen Lehrer hat (siehe Mystics Anmerkung), dann bekommt man das spätestens in der 9.Klasse ordentlich erklärt.

P.S.: Dass du oben deinen Beitrag nur eine Minute nach dem von IfindU abgeschickt hattest, war mir nicht bewusst - vielleicht wäre dann meine Reaktion weniger harsch ausgefallen.

31.05.2012, 16:27

Gast11022013

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Dann wäre ich interessiert an über diesen Irrtum aufgeklärt zu werden, damit ich es meinem Lehrer erklären kann. Big Laugh

Edit: Hätte man es mir ordentlich erklärt würde ich es doch wissen, oder? Das ist jetzt das erste mal, dass das mir Probleme bereitet.

31.05.2012, 16:28

IfindU

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@Gmasterflash

@ IfindU: Verstehe ich nicht ganz. Ist die ganze Geschichte in der Schulmathematik, dass eine Wurzel 2 Lösungen hat eine "Lüge" ´??

Eine Lüge, die gerne erzählt wird, damit die Schüler nicht den beliebten Fehler machen:
$\begin{eqnarray*} x^2 = 4 \Leftrightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{4} \Leftrightarrow x = 2 \end{eqnarray*}$ .

Auf der einen Seite würde man den Schülern gerne sagen, dass Quadrat und Wurzel sich gegeneinander aufheben, und man die wegstreichen kann.
Auf der anderen Seite müsste man ihnen sagen $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2} = |x| \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich meine Schulzeit richtig in Erinnerung habe, waren Beträge damals ziemlich unbeliebt.

Die einfachere Lösung ist wohl zu sagen da gehört ein +/- hin.

Edit: So viele neue Antworten.... Habe ich wirklich so lange an dem Text gesessen? *Zurück an die Bachelorarbeit*

31.05.2012, 16:54

Alex1

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Bin mir noch nicht ganz sicher ob ich alles mitgeschnitten hab. Ist echt ätzend wenn man immer nur unvollständige Häppchen serviert bekommt aber ich denke wenn ich mir erstmal merke das x=Wurzel(a) genau eine Lösung und x^2=a 2 hat reicht das für den Moment Augenzwinkern

Bei sowas denkt man echt dass es das trivialste der Welt sein sollte aber dem ist ja anscheind nicht so wenn ich nicht der einzige bin dem das nicht so klar war.
Danke für Aufklärung Augenzwinkern

Edit: Noch kleine Zusatzfrage bei der ich aber denke die Lösung schon zu kennen. Bei der Wurzel aus x^2 hat man aber wieder 2 Lösungen für x? Also z.B für z=sqrt(x^2) gibt es sowohl eine positive als auch negative Lösung.

31.05.2012, 16:57

Gast11022013

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Sry das ich dich in die Irre geführt habe. Mir war es vorher auch nicht in dieser Form bekannt.

31.05.2012, 17:05

Alex1

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Kein Problem. Ich dachte das vorher ja auch bis ich auf diese Ungereimtheiten zwischen meinem Verständnis und dem des Buches gestoßen bin Augenzwinkern

31.05.2012, 17:21

Mystic

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Zitat:

Original von Alex1
Edit: Noch kleine Zusatzfrage bei der ich aber denke die Lösung schon zu kennen. Bei der Wurzel aus x^2 hat man aber wieder 2 Lösungen für x? Also z.B für z=sqrt(x^2) gibt es sowohl eine positive als auch negative Lösung.

Einfach folgendes merken: Wenn es um die Wurzelfunktion geht, so ist das Ergebnis nach deren Anwendung immer nichtnegativ, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$

Wenn es aber um die Lösungen einer quadratischen Gleichung, z.B. x²=a² geht, dann gibt. es i.d.R. zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} \pm a \end{eqnarray*}$ , die nur für a=0 zusammenfallen...

30.07.2012, 15:34

Mister3000

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Hallo,

demnach ist Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung und Quadrieren nicht?

Viele Grüße :-)

30.07.2012, 15:50

IfindU

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Beide sind (im Allgemeinen) keine Äquvialenzumformung. Quadrieren erschafft Lösungen, Wurzelziehen vergisst Lösungen. Das kann nicht gut gehen.

30.07.2012, 15:54

Mister3000

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Wenn man allerdings mit dem Betrag arbeitet, so sind beide Operationen Äquivalenzumformungen?

30.07.2012, 16:22

IfindU

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Wenn $\begin{eqnarray*} a,b \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt aus $\begin{eqnarray*} a^2 \leq b^2 \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} a^2 \leq b^2 \end{eqnarray*}$ , wenn du das meinst.

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