Polynom irreduzibel |
31.05.2012, 17:19 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » |
Polynom irreduzibel Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Bisher hatte ich 2 Ansätze: Ich habe versucht zu zeigen, dass f prim ist. Sind mit . Dann gilt an mindestens d+1 Stellen, dass f(x)|p(x) oder an d+1 Stellen, dass f(x)|q(x). Daraufhin wollte ich Division mit Rest benutzen, aber ich kriege keine Begründung dafür hin, dass der Rest von p bzw. q durch f verschwindet. Mein zweiter Ansatz war Irreduzibilität direkt zu zeigen, seien also mit Dann ist . Weil f an diesen Stellen eine Primzahl ist, und p,q ganzzahlige Werte annehmen an ganzzahligen Stellen, können 4 Fälle auftreten 1) 2) 3) 4) Einer dieser Falle muss öfter als d/2 mal auftreten und eines der Polynome p,q hat einen Grad geringer als d/2, und hier komme ich nicht weiter. Zuerst habe ich die Fälle 2, 4 nicht registriert und dann geschlossen, dass p oder q an d+1 Stellen den Wert 1 annehmen muss und damit schon konstant ist. Nun sind mir die anderen Fälle aufgefallen und ich weiss nicht so recht weiter. Über Hilfe bin ich ausgesprochen dankbar! |
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31.05.2012, 17:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zum zweiten Ansatz: Betrachte das Polynom . Dann verschmelzen 2 deiner Fälle, aber der Grad wird nicht größer |
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31.05.2012, 18:02 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich versuche mal damit weiterzumachen. Also gibt es die zwei Fälle Wenn der erste Fall mindestens d+1 mal auftritt, gilt an d+1 verschiedenen Stellen, da auf beiden Seiten Polynome eines Grades der höchstens d ist stehen, ist . Es ist pq vom Grad d also muss auch p+q den Grad d haben, das ist nur möglich, wenn schon p oder q Grad d hat, und damit das jeweils andere konstant ist, und diese Konstante muss wegen pq(a_i)=p_i entweder 1 oder minus 1 sein, also eine Einheit. Super, vielen Dank! Der zweite Fall sollte aus dem ersten Folgen, wenn man betrachtet. |
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31.05.2012, 18:22 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Es geht sogar noch viel einfacher, wie mir eben aufgefallen ist. Wir betrachten und . Eins von beiden hat mind. d+1 Nullstellen... |
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