Polynom irreduzibel

31.05.2012, 17:19	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom irreduzibel Hallo, Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} \text{Sei } f\in\mathbb{Z}[X]\text{ mit }\operatorname{Grad}(f)=d\geq1\text{ und für }1\leq i\leq 2d+1\text{ sei }f(a_i)\text{ eine Primzahl, wobei die }a_i\text{ paarweise verschiedene ganze Zahlen sind.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Zeige, dass f irreduzibel ist.} \end{eqnarray}$ Bisher hatte ich 2 Ansätze: Ich habe versucht zu zeigen, dass f prim ist. Sind $\begin{eqnarray} p,q\in\mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\mid pq \end{eqnarray}$ . Dann gilt an mindestens d+1 Stellen, dass f(x)\|p(x) oder an d+1 Stellen, dass f(x)\|q(x). Daraufhin wollte ich Division mit Rest benutzen, aber ich kriege keine Begründung dafür hin, dass der Rest von p bzw. q durch f verschwindet. Mein zweiter Ansatz war Irreduzibilität direkt zu zeigen, seien also $\begin{eqnarray} p,q\in\mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f= pq \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} p_i=f(a_i)=p(a_i)q(a_i)\quad\forall\ 1\leq i\leq 2d+1 \end{eqnarray}$ . Weil f an diesen Stellen eine Primzahl ist, und p,q ganzzahlige Werte annehmen an ganzzahligen Stellen, können 4 Fälle auftreten 1) $\begin{eqnarray} p(a_i)=1 \text{ und } q(a_i)=p_i \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} p(a_i)=-1 \text{ und } q(a_i)=-p_i \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} p(a_i)=p_i \text{ und } q(a_i)=1 \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} p(a_i)=-p_i \text{ und } q(a_i)=-1 \end{eqnarray}$ Einer dieser Falle muss öfter als d/2 mal auftreten und eines der Polynome p,q hat einen Grad geringer als d/2, und hier komme ich nicht weiter. Zuerst habe ich die Fälle 2, 4 nicht registriert und dann geschlossen, dass p oder q an d+1 Stellen den Wert 1 annehmen muss und damit schon konstant ist. Nun sind mir die anderen Fälle aufgefallen und ich weiss nicht so recht weiter. Über Hilfe bin ich ausgesprochen dankbar!
31.05.2012, 17:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum zweiten Ansatz: Betrachte das Polynom $\begin{eqnarray} p+q \end{eqnarray}$ . Dann verschmelzen 2 deiner Fälle, aber der Grad wird nicht größer
31.05.2012, 18:02	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche mal damit weiterzumachen. Also gibt es die zwei Fälle $\begin{eqnarray} p(a_i)+q(a_i)=p_i+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(a_i)+q(a_i)=-(p_i+1) \end{eqnarray}$ Wenn der erste Fall mindestens d+1 mal auftritt, gilt $\begin{eqnarray} pq+1=p+q \end{eqnarray}$ an d+1 verschiedenen Stellen, da auf beiden Seiten Polynome eines Grades der höchstens d ist stehen, ist $\begin{eqnarray} pq+1=p+q \end{eqnarray}$ . Es ist pq vom Grad d also muss auch p+q den Grad d haben, das ist nur möglich, wenn schon p oder q Grad d hat, und damit das jeweils andere konstant ist, und diese Konstante muss wegen pq(a_i)=p_i entweder 1 oder minus 1 sein, also eine Einheit. Super, vielen Dank! Der zweite Fall sollte aus dem ersten Folgen, wenn man $\begin{eqnarray} \tilde{p}=-p,\ \tilde{q}=-q \end{eqnarray}$ betrachtet.
31.05.2012, 18:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Es geht sogar noch viel einfacher, wie mir eben aufgefallen ist. Wir betrachten $\begin{eqnarray} (p-1)(q-1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (p+1)(q+1) \end{eqnarray}$ . Eins von beiden hat mind. d+1 Nullstellen...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »