Endlichkeit der Klassenzahl - Wo liegt mein Denkfehler?

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Endlichkeit der Klassenzahl - Wo liegt mein Denkfehler?
Hallo

ich habe mir ein paar Gedanken zur Endlichkeit der Klassenzahl gemacht und bin dabei auf folgendes Problem gestoßen. Sei ein K ein Zahlkörper, so dass kein HIR ist. Es gibt also ein Ideal a, das kein HI ist. Wir schauen uns dessen eindeutig bestimmte Zerlegung in Primideale an, hier muss als also min. ein Primideal p geben, das kein HI ist, sonst wäre a auch ein Hauptideal. Ich dachte, nicht Hauptideal zu sein, ist äquivalent dazu, dass in der Zerlegung in Primideale ein Primideal auftaucht, dass kein HI ist. Jedoch liefert mir die Endlichkeit der Klassenzahl, dass eine Potenz von a HI ist. Die Zerlegung dieser Potenz muss aber weiterhin p enthalten. Widerspruch.

Was genau habe ich hierbei nicht verstanden? Ich tippe mal, dass mein Fehler hier liegt: Ich dachte, nicht Hauptideal zu sein, ist äquivalent dazu, dass in der Zerlegung in Primideale ein Primideal auftaucht, dass kein HI ist.
Ich freue mich über Aufklärung!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endlichkeit der Klassenzahl - Wo liegt mein Denkfehler?
Zitat:
Original von mathinitus
Was genau habe ich hierbei nicht verstanden? Ich tippe mal, dass mein Fehler hier liegt: Ich dachte, nicht Hauptideal zu sein, ist äquivalent dazu, dass in der Zerlegung in Primideale ein Primideal auftaucht, dass kein HI ist.
Ich freue mich über Aufklärung!


In der Tat steckt dort ein Denkfehler. Jedes Ideal besitzt eine Zerlegung mit (bei gebrochenen Idealen ). Richtig ist nun: wäre jeder der Faktoren Hauptideal, so wäre auch Hauptideal. Jedoch können durchaus auch Primideale in der Faktorisierung vorkommen, die keine Hauptideale sind. Ihre Exponenten müssen sie dann aber notwendigerweise zu Hauptidealen machen.

Beispiel in , dort ist und ist prim. Das Hauptideal ist also das Quadrat eines Primideals, das nicht Hauptideal ist.

Zitat:
Die Zerlegung dieser Potenz muss aber weiterhin p enthalten.


Das sollte jetzt klar sein. Die Zerlegung der Potenz enthält p in einer solchen Potenz, die ein Hauptideal ergibt.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals, das hat mir sehr geholfen. Bei meiner gedachten Äquivalenz gilt also nur die eine Richtung. Außerdem sehen wir, dass jedes Ideal tatsächlich in einer Potenz zum HI wird. Schöne Sache. Jedoch bleibt es nicht dabei, höhere Potenzen können durchaus wieder zu Idealen führen, die keine HI sind.

Ich habe mir zu deinem Beispiel nun mal ein paar Gedanken gemacht, um die Sache besser zu verstehen. Erst mit etwas Rechnen war mir klar, wie überhaupt aussieht. Ich schreibe nun einfach mal auf, was ich rausgefunden habe:

Für hätten wir .
.
.

Preisfrage: Wie sieht bzw. aus?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Preisfrage: Wie sieht bzw. aus?


Ohne nachgerechnet zu haben tippe ich mal:

Für ungerade n: .
Für gerade n: .

Stimmt das?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
.
.


Diese beiden Darstellungen stimmen, aber sie sind schon recht ungewöhnlich. Warum nicht einfach so, wie die Definition es sagt:


.

Das ist doch viel unkomplizierter.

Zitat:
Für ungerade n: .
Für gerade n: .


Ich weiß gar nicht, wie du das ausgerechnet hast. Ich würde mich an deiner Stelle auch gar nicht so sehr auf dieses Beispiel versteifen. Und solche Rechnereien, also das Beschreiben dieser allgemeinen n-ten Potenz, sind nichts, was dir in der Zahlentheorie wirklich weiterhilft.

Aber wenn du es wissen willst: . Das habe ich allerdings schon nicht mehr von Hand ausgerechnet, sondern ich habe den Computer gefragt. Wie gesagt, solche Rechnungen halte ich (von Hand) nicht für besonders erhellend.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Warum nicht einfach so, wie die Definition es sagt:


.

Das ist doch viel unkomplizierter.


Wenn ich ehrlich bin, kann ich mir unter

noch nichts vorstellen (da a und b hier ja selbst wieder solche Summen ganzer Zahlen und Vielfachen von sind), sehr wohl aber unter
.
Hier sehe ich sofort was Sache ist: Statt allen ganzen Zahlen lasse ich hier nur ganze Koeffizienten des gleichen Geschlechts zu.

Wie dem auch sei, sicherlich hilft mir das in der Zahlentheorie nicht sodnerlich weiter, jedoch finde ich solche Überlegungen interessant und man kann die abstrakte Theorie doch etwas besser fassen, wenn man es mal anhand eines Beispiels sieht. Und um zu beweisen, dass das, was du in deinem ersten Beitrag in diesem Thread hier schreibst, wahr ist, muss ja schon ein bisschen rechnen und genau das machte ich ja auch als erstes. Ich bin dir auf jeden Fall sehr dankbar für deine Antwort.

PS: Welche Software benutzt du, um solche Sachen zu berechnen?
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich benutze Magma, das zwar leider nicht kostenlos (sondern extrem teuer) ist, aber auch eine Online-Version besitzt, die für solche kleinen Rechnungen mehr als ausreichend ist.

Gib zum Beispiel mal folgendes hier ein.

code:
1:
2:
3:
4:
K<w>:=QuadraticField(-5);
R:=Integers(K);
I:=ideal<R|2,1+w>;
I^3;


Zusätzlich bekommt man heraus:

code:
1:
2:
IsPrincipal(I^3);
IsPrime(I^3);


Bei nicht primen Idealen kann man sogar die Faktorisierung in Primideale erhalten:

code:
1:
Factorization(I^3);
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