Anzahl der Leuchtstoffröhren bis zum Ausfall

01.06.2012, 11:08

Youssarian

Anzahl der Leuchtstoffröhren bis zum Ausfall

Huhu,

ich bins wieder und hab mittlerweile sogar einige Aufgaben lösen können. Zwar waren nicht alle Richtig, aber es wird so langsam. Denoch hab ich nun eine Aufgabe wo ich keinen anständigen Ansatz finde.

Die Aufgabe:
Bei a) soll man ausrechnen wieviele Leichtstoffröhren verbaut werden müssen um eine Sicherheit von 99,999% zu gewährleisten damit mindestens eine Röhre leuchtet.

Gegeben ist das alle 10 Tage sämtliche Leuchtstoffröhren ausgetauscht werden und, dass sie innerhalb dieser Zeit zu 1% kaputt gehen können.Hinzu kommt noch das 3 Generatoren vorhanden sind wovon mindestens einer funktionieren muss (Wahrscheinlichkeit für den Ausfall eines Generators beträgt 2%).

Allein durch den Definitionsbereich würd ich sagen, dass ich die Binomialverteilung benutzen muss, aber dort bekomm ich die Formel nicht nach n umgestellt. Evtl. lieg ich mit meiner Vermutung auch komplett falsch.

Gruß
Youssarian

01.06.2012, 11:55

HAL 9000

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Du hast zwei Arten von Ereignissen hier:

$\begin{eqnarray*} L_n \end{eqnarray*}$ ... mindestens eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Leuchstoffröhren funktioniert

$\begin{eqnarray*} G_m \end{eqnarray*}$ ... mindestens einer von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Generatoren funktioniert

Wir nehmen an, dass die Funktionsfähigkeit aller beteiligten Geräte (sowohl Leuchtstoffröhren als auch Generatoren) voneinander unabhängig ist.

Die Bedingung, die nun zu erfüllen ist, lautet:

$\begin{eqnarray*} P(L_n \cap G_3) = P(L_n)\cdot P(G_3) \geq 0.99999 \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Den zweiten Faktor $\begin{eqnarray*} P(G_3) \end{eqnarray*}$ kannst du direkt als Zahl ausrechnen, der erste $\begin{eqnarray*} P(L_n) \end{eqnarray*}$ wird noch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen, so dass du letztlich (*) nach n umstellen kannst.

01.06.2012, 15:47

Youssarian

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Hi,

hab hier ne Ähnliche Aufgabe in der ich aber nur eine Wahrscheinlichkeit hatte. Dort muss ich nur nach n umstellen was auch wunderbar geklappt hat und jetzt hab ich versucht diese auf 2 Wahrscheinlichkeiten anzuweden, aber anscheinend ist hier etwas falsch den das Ergebnis ist viel zu groß.

$\begin{eqnarray*} P(G_3)=P(G_1=1) + P(G_2=2)+P(G_3=3) = 0,001176+0,057624+0,941192 = 0,999992 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(L_n)*0,999992\ge0,99999 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(L_n)\ge0,999998 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\ge1) \ge 0,999998 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-P(X=0) \ge0,999998 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,000002 \ge(P(X=0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,000002 \ge1*1*0,999998^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(0,000002 )\ge n*log(0,999998 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=\frac{log(0,000002 )}{ log(0,999998)} = 6561175,128 \end{eqnarray*}$

Gruß

01.06.2012, 16:08

HAL 9000

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Immer schön, wenn die verwendeten Größen in ihrer Bedeutung nicht erklärt werden. Ich nehme aber mal an, dass das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bei dir die Anzahl der funktionierenden Leuchtstoffröhren ist, bei insgesamt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stück.

Bei 1% Defektwahrscheinlichkeit ist dann aber $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 0.01^n \end{eqnarray*}$ anstelle der von dir verwendeten $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 0.999998^n \end{eqnarray*}$ - wie du darauf kommst, weißt du wohl selbst nicht... unglücklich

$\begin{eqnarray*} P(G_3) \end{eqnarray*}$ ist richtig berechnet, es geht aber auch kürzer: $\begin{eqnarray*} P(G_3) = 1-0.02^3 = 0.999992 \end{eqnarray*}$ .

04.06.2012, 09:46

Youssarian

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Zitat:

Original von HAL 9000
Immer schön, wenn die verwendeten Größen in ihrer Bedeutung nicht erklärt werden .

Richtig und darum versuch ich mir das jezt selber beizubringen. Versteh deswegen auch nicht warum du so negativ reagierst. Ist ja jetzt nicht so, dass ich möchte dass ihr meine Hausaufgaben macht. Ich versuch ja mein Bestes, aber leider mach ich immer noch viele Fehler.

auf $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 0,999998^n \end{eqnarray*}$ komm ich mit folgendem Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} P(L_n) * P(G_3) \ge ({n \atop 0}) *p^0* 0,99999^n \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nicht machen darf dann weiss ich zwar wo mein Fehler liegt, aber dann hab ich wirklich keine Ahnung mehr wie ich die Aufgabe sonst lösen kann.

Gruß

04.06.2012, 09:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Youssarian
Versteh deswegen auch nicht warum du so negativ reagierst.

Es gehört einfach dazu, verwendete Begriffe (so sie nicht schon in der Aufgabenstellung eingeführt werden) zu erklären. Dass du auf diesen meinen Hinweis hin auch noch rummaulst von wegen "negative Reaktion", ist für mich das letzte - such dir jemand anderen, den du so behandeln kannst. Finger2

04.06.2012, 10:17

Youssarian

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Ich glaube du hast mich da komplett falsch verstanden. Es sollte kein rummaulen oder so sein. Eher ist dies ein Hilferuf gewesen, weil ich ausser n paar Urnenmodellen(vom Lehrer) nichts Handfestes besitze.
Google ist da auch kaum ne Hilfe da jeder was anderes schreibt und ich nicht weiss was richtig ist und was nicht.

Darum tut es mir leid und bitte um Entschuldigen, dass da so rüberkam. Ich bin echt über jeden Hinweis dankbar, da ich seid mehreren Stunden an dieser Aufgabe sitze und Ergebnisse zwischen 0,00000004 und 6 Millionen bekomme. Leider ist nichts dabei was irgendwie verwertbar wäre.

04.06.2012, 13:09

HAL 9000

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Ich werde einfach nicht weiter auf deine Überlegungen eingehen, es scheint da eine gestörte Kommunikation zu geben (du willst nicht erkkären, was du mit X meinst, und antwortest auf meine Vermutungen darüber weder mit Zustimmung noch Ablehnung).

Stattdessen knüpfe ich an meine obigen Überlegungen an und führe sie fort:

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Bedingung, die nun zu erfüllen ist, lautet:

$\begin{eqnarray*} P(L_n \cap G_3) = P(L_n)\cdot P(G_3) \geq 0.99999 \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Den zweiten Faktor $\begin{eqnarray*} P(G_3) \end{eqnarray*}$ kannst du direkt als Zahl ausrechnen, der erste $\begin{eqnarray*} P(L_n) \end{eqnarray*}$ wird noch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen, so dass du letztlich (*) nach n umstellen kannst.

Wenn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Anzahl der funktionierenden Leuchtstoffröhren bei insgesamt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stück bezeichnet, dann gilt

$\begin{eqnarray*} P(L_n) = P(Y\geq 1) = 1-P(Y=0) = 1-0.01^n \end{eqnarray*}$ ,

so dass zusammen mit $\begin{eqnarray*} P(G_3) = 0.999992 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in (*) insgesamt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1-0.01^n)\cdot 0.999992 \geq 0.99999 \end{eqnarray*}$ zu lösen ist, was umgerechnet

$\begin{eqnarray*} 0.01^n \leq 1-\frac{0.99999}{0.999992} = \frac{1}{499996} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\geq \frac{1}{2}\lg(499996) \approx 2.85 \end{eqnarray*}$

bedeutet, und da $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist heißt das $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

05.06.2012, 12:17

Youssarian

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Hi,

Vielen dank für deine Mühe.

Gruß

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