Beispiele zur vollst. Induktion

08.07.2004, 21:11

Gast

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Beispiele zur vollst. Induktion

Hallo,

ich bin gerade am Schreiben einer Arbeit über vollst. Induktion. Nun fehlen mir noch zwei oder drei komplexe Beispiele hierzu. Das meiste das ich finde ist aber in wenigen Zeilen erledigt.

Wenn jemand einen Vorschlag hat, wäre ich überaus dankbar. (Aufgabenstellung reicht aus - das Ausrechnen schaff ich schon).
Schön wäre es, wenn es z.B. irgendeinen "prominenten" Satz, eine reelle Anwendung o.ä. gäbe - konstruierte Aufgaben gibts ja wie Sand am Meer Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Schonmal Danke für jede Anregung!

08.07.2004, 21:27

Philipp-ER

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Hi.
Ganz interessant fände ich zum Beispiel folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}t^{n}e^{-t}dt=n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
Nicht schwer zu zeigen, hat aber einige interessante Anwendungen.

08.07.2004, 23:09

Mazze

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Sei $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ eine (k,k) Matrix und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ eine (l,l) matrix und B eine (k,l) Matrix

Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{vmatrix} = det(A_1)*det(A_2) \end{eqnarray*}$

Das geht über Induktion in dem du für die (l,l) matrix erst die dimension 1x1 nimmst dann (n+1)x(n+1)

Ansich ist die Induktion hier dran nicht so schwer man muss nur mit den Permutationen geschickt rumspielen

09.07.2004, 11:04

Deakandy

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Nimm doch die allgemeine binomische Formel,.., da muss man noch andere kenntnisse haben

09.07.2004, 13:31

Gast

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Hallo,

zuerst mal vielen Dank für die Tips. Die Binomische Formel habe ich schon als Beipiel hergenommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Philipp-ER, dein Beispiel läuft ja auf Gammafunktionen hinaus, oder? (Ich glaube das Integral schonmal in dem Zusammenhang gesehen zu haben). Mal ganz naiv gefragt: denkst du, für jemanden der davon (noch?) keine Ahnung hat ist das machbar? (komme erst in die 13. Kl. und habe davon leider noch nichts näheres gehört...).

Das Matrizenbeispiel werde ich wohl aufgreifen. Da muß ich mich zwar auch noch gehörig einlesen, aber besten Dank dafür!

09.07.2004, 15:50

Guevara

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Wie wird eigentlich bewiesen dass Die Summe der Binomialkoeffizienten gleich 2^n ist.

Und kann einer von euch den Beweis für die Taylorreihe erklären.

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09.07.2004, 18:27

Philipp-ER

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Das mit der Gammafunktion hast du richtig erkannt, man würde hier den Sonderfall
$\begin{eqnarray*} \Gamma(n+1)=n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
zeigen. Für diesen Beweis braucht man lediglich eine (einfache) partielle Integration, das sollte also für dich machbar sein, falls ihr dieses Thema schon hattet. Man könnte dann halt in einem Nebensatz die Interessierten darauf hinweisen, dass sich mit diesem Integral auch für beliebige (positive) reelle Zahlen eine Fakultät definieren lässt. Man setzt dann nämlich analog
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}t^x e^{-t}dt=x! \end{eqnarray*}$ und damit dann dann also auch (1/2)! erklärt.
Ich dachte, das könnte interessant sein.

09.07.2004, 18:59

The Craw

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@guevara:
2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot1^k\cdot1^{n-k}=\sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}

The Craw

09.07.2004, 19:03

The Craw

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$\begin{eqnarray*} 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot1^k\cdot1^{n-k}=\sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.07.2004, 23:26

Gast

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Abend

Augenzwinkern

So, ich denke ich habs jetzt. Partielle Integration hatten wir zwar noch nicht (steht u.a. nächstes Jahr im Lehrplan) - aber das war ja das geringste Problem.

Also nochmal danke!

10.07.2004, 11:58

Guevara

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~t^n*e^{-t}~dt = -e^{-\infty }*\infty ^n + n*\int_{0}^{\infty }~t^{n-1}*e^{-t}~dt= (n-1)!*n \end{eqnarray*}$
Geht ja wirklich leicht. Verankern kann man den beweis in dem man es mit n=1, 2, 3 macht.

10.07.2004, 11:59

Mazze

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wie ist den bitte

$\begin{eqnarray*} e^{\infty} \end{eqnarray*}$ definiert?

10.07.2004, 12:05

Guevara

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Was passiert bei e^(-x) wenn x unendlich wird. Da wird es es zu 0.

10.07.2004, 12:20

Mazze

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Zitat:

Was passiert bei e^(-x) wenn x unendlich wird. Da wird es es zu 0.

Hm das is klar, die frage ist eher was passiert bei

$\begin{eqnarray*} e^{\infty} \end{eqnarray*}$

bzw $\begin{eqnarray*} \infty^n \end{eqnarray*}$

10.07.2004, 13:22

Leopold

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Ausdrücke, die beim Grenzübergang x->a die Form $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty \end{eqnarray*}$ annehmen, gehören zu den sogenannten "unbestimmten Ausdrücken". Eine allgemeine Aussage über das Grenzverhalten ist für solche unbestimmten Ausdrücke nicht möglich. Man muß hier von Fall zu Fall entscheiden.

Bei der Exponentialfunktion gilt allerdings der folgende Zusammenhang:

Ist p(x) ein beliebiges Polynom, so gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} lim_{x \to \infty} (\ p(x) \cdot e^{-x}\ ) \ = \ 0 \end{eqnarray*}$

11.07.2004, 10:39

Guevara

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Also ich weis, ich habs ein bischen blöd ausgedrückt.

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