Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft

28.01.2007, 13:04

TheSundancer

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Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft

Hallo zusammen,

ich sitze gerade vor einer Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme. Hoffentlich kann mir hier jemand helfen. Die Lösung als solche ist vermutlich nicht mal das Problem, sondern ich komme einfach nicht auf den Ansatz, bzw. die Gleichungen die ich aufstellen muss:

Ein Unternehmer stellt Autos her:

-Auto A mit Produktionskosten von 1800 GE

-Auto B mit Produktionskosten von 2100GE

Auto A wird aus 7 ME Aluminium und 2 ME Stahl hergestellt, Auto B aus 5 ME Aluminium und 3 ME Stahl. Im Lager gibt es 550 ME Aluminium und 264 ME Stahl, die auf jeden Fall verbraucht werden sollen. Es gibt die Möglichkeit, Aluminium und Stahl nachzubestellen. Insgesamt sollen genau 100 Autos hergestellt werden.

a) Formulieren Sie Zielfunktion und Nebenbedingungen. Erläutern Sie, was die verwendeten Variablen darstellen.

b) Stellen Sie die Gleichungen der Randgeraden auf und zeichnen Sie das Planungsvieleck sowie den Graphen der Zielfunktion.

c) Bestimmen Sie zeichnerisch, die Kombination, für welche die Gesamtproduktionskosten minimal werden. Wie hoch sind diese?

Entweder stehe ich total auf dem Schlauch, oder es ist wieder einmal einfacher als ich es mir vorstelle... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!!

TheSundancer

28.01.2007, 13:38

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
$\begin{eqnarray*} k_a=1.800~GE, ~ k_b=2.100~GE \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 7\cdot AL + 2 \cdot ST \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = 5 \cdot AL + 3 \cdot ST \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_a + n_b = 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{AL} \geq 550 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{ST} \geq 264 \end{eqnarray*}$

Als erstes stellt sich hier die FRage, was soll "extremiert" werden. Da die einzig klare Vorgabe in der Anzahl der Autos besteht, wäre anzunehmen, dass die Produktionskosten zu minimieren sind. Als Nebenbedingung fließt dann ein, dass man die Vorräte aufbrauchen muss. Jedoch ist es hier seltsam, dass nachbestellt werden kann, was natürlich Kosten verursacht. Es wäre daher anzunehmen, dass man die Preise für Aluminium und Stahl erst berechnen soll, denn sonst macht das ja keinen Sinn.

28.01.2007, 14:05

Dual Space

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Ich *verschieb* diese Aufgabe mal zu den anderen ihrer Art. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2007, 18:52

TheSundancer

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Hallo tigerbine,

vielen Dank erstmal für deine Antwort. Allerdings muss ich zugeben, dass ich nach wie vor auf dem Schlauch stehe (Bei mir scheint der Groschen nur in Pfennigen zu fallen):
Um etwas zu extremieren, in diesem Fall die Produktionskosten, muss ich doch irgendwann eine Ableitung bilden, oder sehe ich das falsch? Nur bei den Gleichungen die sich aus der Aufgabe ergeben, kommen als Ableitungen nichts brauchbares heraus.
Geht es nur mir so, oder ist die Aufgabe blöd gestellt?

Vielen Dank schon mal für deine Hilfe.

Gruß
TheSundancer

28.01.2007, 18:55

TheSundancer

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Ich bins nochmal.

Über ein Ungleichungssystem mit den vorhandenen Vorräten und den benötigten Einheiten habe ich errechnet, dass man 30 Autos von A bauen kann und 68 Autos von B. Es muss also noch nachbestellt werden, fragt sich nur, was man dann nachbestellt und was man baut um die 100 Einheiten voll zu machen...

Vielen Dank nochmal.

28.01.2007, 18:56

riwe

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} k_a=1.800~GE, ~ k_b=2.100~GE \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 7\cdot AL + 2 \cdot ST \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = 5 \cdot AL + 3 \cdot ST \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_a + n_b = 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{AL} \geq 550 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{ST} \geq 264 \end{eqnarray*}$

Als erstes stellt sich hier die FRage, was soll "extremiert" werden. Da die einzig klare Vorgabe in der Anzahl der Autos besteht, wäre anzunehmen, dass die Produktionskosten zu minimieren sind. Als Nebenbedingung fließt dann ein, dass man die Vorräte aufbrauchen muss. Jedoch ist es hier seltsam, dass nachbestellt werden kann, was natürlich Kosten verursacht. Es wäre daher anzunehmen, dass man die Preise für Aluminium und Stahl erst berechnen soll, denn sonst macht das ja keinen Sinn.

aus dem beitrag des fragestellers:

c) Bestimmen Sie zeichnerisch, die Kombination, für welche die Gesamtproduktionskosten minimal werden. Wie hoch sind diese?

werner

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28.01.2007, 18:57

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Mir stellt sich ersteinmal die FRage, was kostet eine nachbestellte Einheit.

28.01.2007, 19:15

riwe

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
mit deinen bedingungen bin ich so aber nicht ganz einverstanden.
mein vorschlag:
$\begin{eqnarray*} 7A + 5B\geq 550 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2A+3B\geq 264 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A + B =100 \end{eqnarray*}$
und damit
aber wer weiß verwirrt

verwirrt

werner

edit: S in der skizze: S = A + B

28.01.2007, 19:37

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Das ist doch nur eine andere Belegung der Variablen...

Du meinst mit A die Anzahl der Autos A, das habe ich mit $\begin{eqnarray*} n_a \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Analog für B.

Mit A = wollte ich nur die Materialzusammensetzung eines Autos A ausdrücken.

Wenn man das also logisch "übersetzt", schreiben wir das gleiche.

Dennoch fehlen mir bei dir die Kosten. Meiner meinung nach müssen wir aus

$\begin{eqnarray*} 1.800 = 7\cdot k_{AL} + 2 \cdot k_{ST} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.100 = 5 \cdot k_{AL} + 3 \cdot k_{ST} \end{eqnarray*}$

ersteinmal die Kosten der Produktionsfaktoren berechnen.

28.01.2007, 20:06

riwe

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
nein, das stimmt nicht
schau deine ersten 2 gleichungen an, mit denen kannst du nicht arbeiten
und meine 2

und das minimum kann man ja ablesen 36 A und 64 B (oder doch 25 A und 75 B Big Laugh

Big Laugh

).

aber jeder nach seiner facon verwirrt

verwirrt

werner

28.01.2007, 20:34

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Das = soll "enstpricht" bedeuten. ist noch gar nicht als Formel zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} \text{Verwendetes Aluminium: }v_{AL}=7\cdot n_a + 5\cdot n_b \geq 550 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Verwendeter Stahl: }v_{ST}=2\cdot n_a + 3\cdot n_b \geq 264 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{zu prod. Autos: } n_a+n_b = 100 \end{eqnarray*}$

verstehe jetzt nicht, wo wir uns unterscheiden. Wo hast Du denn die Zielfunktion formuliert?

28.01.2007, 21:44

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Produktionskosten:

$\begin{eqnarray*} K(n_a) = 1.800\cdot n_a + 2.100 \cdot (100-n_a) = 210.000-300\cdot n_a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100 \geq ~n_a,~n_b \geq 0 \end{eqnarray*}$

Also sollte $\begin{eqnarray*} n_a \end{eqnarray*}$ so groß wie möglich sein. Aber

$\begin{eqnarray*} v_{AL}=7\cdot n_a + 5\cdot (100-n_a) = 2n_a+500 \geq 550 \Rightarrow n_a \geq 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{ST}=2\cdot n_a + 3\cdot (100-n_a) =300 - n_a \geq 264 \Rightarrow 36 \geq n_a \end{eqnarray*}$

D.h.

$\begin{eqnarray*} n_a \in [25,36] \end{eqnarray*}$

Problem, wenn z.B. $\begin{eqnarray*} n_a = 36 \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} v_{AL}=572 \end{eqnarray*}$ . Es sind aber nur 550 auf Lager. Was kosten die fehlenden 22 Stück?

28.01.2007, 21:54

riwe

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
steht doch da: können nachbestellt werden.
das ist doch der springende punkt!
und anders als im wirklichen leben, im modell zum selben preis, da nicht anders
angegeben.
aber was soll´s Big Laugh

Big Laugh

werner

28.01.2007, 22:12

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Dann wäre

$\begin{eqnarray*} K(36) = 199.200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K(25) = 202.500 \end{eqnarray*}$

Warum sollte dann $\begin{eqnarray*} n_a = 25 \end{eqnarray*}$ eine Lösung sein? verwirrt

verwirrt

29.01.2007, 12:47

TheSundancer

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Wow,

ihr seid wirklich klasse!!! Mit soviel Hilfe und Engagement hatte ich nun wirklich nicht gerechnet.
Vielen Dank.

Ich werde mir das nochmal genau zu Gemüte führen, scheint doch nicht so wirklich eine Extremwertaufgabe zu sein, zumindest nichts mit Potenzen und Ableitungen - danach habe ich irgendwie die ganze Zeit gesucht...

Vielen Dank nochmal für Eure Hilfe!!! Gott

Gott

Gruß
TheSundancer

nein, das nennt sich lineare optimierung,
glaube ich verwirrt

verwirrt

werner

29.01.2007, 21:07

riwe

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft

Zitat:

Original von tigerbine
Dann wäre

$\begin{eqnarray*} K(36) = 199.200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K(25) = 202.500 \end{eqnarray*}$

Warum sollte dann $\begin{eqnarray*} n_a = 25 \end{eqnarray*}$ eine Lösung sein? verwirrt

verwirrt

das war doch nur ein spaß, das maximiert die produktionskosten.
aber ich dachte, das wüßtest du Big Laugh

Big Laugh

(sozusagen die grundlagen der linearen optimierung unglücklich

unglücklich

)
werner

29.01.2007, 21:14

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Ach herje, jetzt hab ich deinen Spass nicht verstanden traurig

traurig

Ich finde die Aufgabe eben seltsam, kann ja fast nur von einem BWLer stammen, der zu faul war das passende Intervall zu suchen. Solche Nachbestellungen sind mir noch nie untergekommen. naja... Big Laugh

Big Laugh

29.01.2007, 23:13

riwe

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft

Zitat:

Original von tigerbine
Ach herje, jetzt hab ich deinen Spass nicht verstanden traurig

traurig

Ich finde die Aufgabe eben seltsam, kann ja fast nur von einem BWLer stammen, der zu faul war das passende Intervall zu suchen. Solche Nachbestellungen sind mir noch nie untergekommen. naja... Big Laugh

Big Laugh

das soll ja vorkommen - wenn auch äußerst selten -, dass man in deinem alter doch noch nicht alles weiß unglücklich

unglücklich

das soll schon wieder ein spaß sein,
da kannst du jede menge nachbestellen, zum selben preis Big Laugh

Big Laugh

aber jetzt gebe ich eh ruh
werner

29.01.2007, 23:16

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Bereich Wirtschaft
Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

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