Limes bed. Erwartungswert

02.06.2012, 12:18

Gast11022013

Hallo, ich würde gerne noch eine Aussage beweisen und zwar:

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}X_n=X\mbox{ f.s. }, \vert X_n\vert\leq Y, Y\mbox{ integrierbar } \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}E(X_n|\mathcal{C})=E(X|\mathcal{C})\mbox{ f.s. } \end{eqnarray*}$

---

Betrachte $\begin{eqnarray*} Z_n=\sup_{k\geq n}\vert X_k-X\vert \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ fast sicher gegen 0. Außerdem gilt wegen der Linearität und der Monotonie:

$\begin{eqnarray*} \vert E(X_n|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C})\vert\leq E(Z_n|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ .

Es ist also ausreichend zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} E(Z_n|\mathcal{C})\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit habe ich so meine Schwierigkeiten.

Ich würde wieder über die Monotonie argumentieren:

Es ist doch $\begin{eqnarray*} 0\leq Z_n\leq 2Y=:Z \end{eqnarray*}$ , demnach müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} E(Z_n|\mathcal{C})\leq E(Z|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$

und man müsste zeigen, daß $\begin{eqnarray*} E(Z|\mathcal{C})\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Der letzte Schritt fehl noch (hat sicher mit dem Satz über die majorisierte Konvergenz zu tun). Kann jemand behilflich sein?

02.06.2012, 13:34

Gast11022013

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Nee, damit fühle ich mich noch nicht wohl...

Andere Idee:

Also zu zeigen ist, wie gesagt, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}E(Z_n|\mathcal{C})=0 \end{eqnarray*}$ .

Kann man nun nicht einfach so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} E(Z_n)=\int E(Z_n|\mathcal{C})\, dP \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} 0=E(0)=\lim_{n\to\infty}E(Z_n)=\lim_{n\to\infty}\int E(Z_n|\mathcal{C})\, dP=\int\lim_{n\to\infty}E(Z_n|\mathcal{C})\, dP \end{eqnarray*}$ , wobei die letzte Gleichheit gilt, da $\begin{eqnarray*} \vert Z_n\vert\leq 2Y \end{eqnarray*}$ und man damit den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden kann.

Und folgt daraus denn nicht, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}E(Z_n|\mathcal{C})=0 \end{eqnarray*}$ ist?

02.06.2012, 15:18

Gast11022013

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Ich schon wieder.

Ich habe einen Beweis gefunden, der genauso anfängt, wie ich angefangen bin. Aber dann verstehe ich die weitere Argumentation nicht.

Also bis zu dem Punkt, daß man $\begin{eqnarray*} E(Z_n|\mathcal{C})\to 0 \end{eqnarray*}$ zeigen soll, geht der Beweis genauso.

Dann steht dort (und ab hier verstehe ich Manches leider nicht mehr, daher frage ich gezielt nach):

"Wegen der Monotonie ist die Folge $\begin{eqnarray*} (E[Z_n|\mathcal{C})_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ nicht steigend und hat daher ein Limit $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ."

Daß die Folge monoton fällt, kann ich noch einigermaßen nachvollziehen, denn es ist ja $\begin{eqnarray*} Z_{n+1}\leq Z_{n} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} E(Z_{n+1}|\mathcal{C})\leq E(Z_n|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ .
Doch woher weiß man, daß eine untere Schranke bzw. ein Grenzwert existiert?

Ich denke, weil die Folge nach unten beschränkt ist, da $\begin{eqnarray*} E(Z_n|\mathcal{C})\geq E(0|\mathcal{C})= 0~\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

Weiter:

"Die Aufgabe besteht nun darin, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Z=0 \end{eqnarray*}$ fast sicher oder, Z nicht-negativ, dass $\begin{eqnarray*} E[Z]=0 \end{eqnarray*}$ ."

(Wieso ist Z nichtnegativ?)

Weiter:

"Aber $\begin{eqnarray*} 0\leq Z_n\leq 2Y \end{eqnarray*}$ und daher wegen der Definition des bedingten Erwartungswerts und der majorisierten Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} E[Z]=\int E[Z|\mathcal{C}]\, dP\leq \int E[Z_n|\mathcal{C}]\, dP=E(Z_n)\to 0 \end{eqnarray*}$ ."

Das verstehe ich so, daß man wegen $\begin{eqnarray*} \vert E(Z_n|\mathcal{C})\vert\leq E(2Y|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ nun den Satz von der dominierten Konvergenz anwenden kann wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} E(Z)=E(Z)\leq\lim_{n\to\infty}\int E(Z_n|\mathcal{C})\, dP=\int\lim_{n\to\infty}E(Z_n|\mathcal{C})\, dP=\lim_{n\to\infty}E(Z_n)=E(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} E(Z)\leq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Wieso gilt aber $\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h., wieso ist der negatve Fall auszuschließen?

Hoffentlich kann und mag mir jemand das etwas erklären.
Viele Grüße

02.06.2012, 18:13

Gast11022013

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So, jetzt editiere ich nichts mehr. Augenzwinkern

Jemand Zeit und Lust sich das mal durchzulesen?

02.06.2012, 18:49

Sherlock Holmes

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Oh Gott, was ist das? .. sieht für mich wie japanisch aus...

(Sorry, für den Spam, wollte aber nur meine Empörung kundtun)

02.06.2012, 19:00

Gast11022013

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Kannst Du ruhig kundtun. Big Laugh

------------------

Derweil warte ich auf Reaktion.

02.06.2012, 19:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Doch woher weiß man, daß eine untere Schranke bzw. ein Grenzwert existiert?

Ich denke, weil die Folge nach unten beschränkt ist, da $\begin{eqnarray*} E(Z_n|\mathcal{C})\geq E(0|\mathcal{C})= 0~\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

Richtig, denn $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ ist ja per Definition nichtnegativ - das schlägt natürlich auch auf die Grenzwert-Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ durch.

Zitat:

Original von Dennis2010
Wieso gilt aber $\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h., wieso ist der negatve Fall auszuschließen?

Wie soll denn das gehen, wenn $\begin{eqnarray*} Z\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist? Du hast doch gestern erst bewiesen, dass aus $\begin{eqnarray*} Z\geq 0 \end{eqnarray*}$ f.s. auch $\begin{eqnarray*} E(Z \bigm| \mathcal{C}) \geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt - das gilt natürlich auch für die triviale Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} = \{\emptyset,\Omega\} \end{eqnarray*}$ .

02.06.2012, 20:25

Gast11022013

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Dennis2010
Wieso gilt aber $\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h., wieso ist der negatve Fall auszuschließen?

Das habe ich noch nicht verstanden.

Kann man da noch was erklären?

Edit: Achso. $\begin{eqnarray*} E(Z) \end{eqnarray*}$ kann natürlich nicht negativ sein, wenn $\begin{eqnarray*} Z\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt verstehe ich, was Du meinst. Idee!

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