Nichteinheitswurzeln auf dem Einheitskreis

03.06.2012, 14:10	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichteinheitswurzeln auf dem Einheitskreis Hallo, gibt es eigentlich $\begin{eqnarray} x\in\overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x\|=1 \end{eqnarray}$ , das keine Einheitswurzel ist?
03.06.2012, 17:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja z.b. die Nullstellen $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar \eta \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f = x^2+\frac{1}{2}x+1 \end{eqnarray}$ und damit auch alle Potenzen von $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ . Das folgt direkt aus dem Lemma von Gauß. Wäre $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ n-te Einheitswurzel, so würde gelten: $\begin{eqnarray} f \| (x^n-1) \end{eqnarray}$ . Nach dem Lemma von Gauß geht das nicht.
04.06.2012, 22:42	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, irgendwie hatte ich das nicht erwartet, jedoch ist es sehr einleuchtend

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