Kugelaufgabe

28.01.2007, 14:52

bechi

Kugelaufgabe

Hallo liebes matheboard!

Und zwar benötige ich Hilfe ob ich die Aufgabe so richtig gelöst habe bzw. wie es weitergeht!
Die Aufgabe lautet:

Der Punkt A liegt auf der Kugel K. Welcher Punkt B der Kugel K liegt exakt gegenüber von Punkt A?

a) $\begin{eqnarray*} K: (x-6)²+(y+2)²+z²=121 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A(8|4|9) \end{eqnarray*}$

Sprich der Mittelpunkt liegt bei $\begin{eqnarray*} M(6|2|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{MA} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h sei eine durch den Kreismittelpunkt laufende, zu g senkrechte Gerade. Sie hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Koordinatengleichung des Kreises lautet:

$\begin{eqnarray*} K: (x-6)²+(y-2)²+(z-0)²=121 \end{eqnarray*}$

vereinfacht

$\begin{eqnarray*} K:x²-12x+y²-4y+z²=81 \end{eqnarray*}$

Sind die Rechenschritte bis hierhin richtig?!

Muss ich jetzt die Geradenkoordinaten in die Kreisgleichung einsetzen?

28.01.2007, 15:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kugelaufgabe

Zitat:

Original von bechi
Hallo liebes matheboard!

Und zwar benötige ich Hilfe ob ich die Aufgabe so richtig gelöst habe bzw. wie es weitergeht!
Die Aufgabe lautet:

Der Punkt A liegt auf der Kugel K. Welcher Punkt B der Kugel K liegt exakt gegenüber von Punkt A?

a) $\begin{eqnarray*} K: (x-6)²+(y+2)²+z²=121 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A(8|4|9) \end{eqnarray*}$

Sprich der Mittelpunkt liegt bei $\begin{eqnarray*} M(6|2|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=11 \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} \vec{MA} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Freude

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -9 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verwirrt

28.01.2007, 15:31

bechi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet die geradengleichung.

aber musste ich nicht eine tangentengleichung aufstellen, und dort muss man doch irgendwie die vektoren vertauschen!

wie lautet denn dann h?

28.01.2007, 15:49

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kugelaufgabe

Zitat:

Original von bechi

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Freude

h sei eine durch den Kreismittelpunkt laufende, zu g senkrechte Gerade. Sie hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Die soll doch durch den Mittelpunkt M laufen. So läuft sie durch A.

28.01.2007, 16:46

bechi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \vec{MA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

tangentengleichung durch A
$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8\\ 4\\ 9\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -10\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

weil : $\begin{eqnarray*} 2x+2y+9z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x= -10 \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Geraden in die Koordinatenin der Kugelgleichung

$\begin{eqnarray*} K: (x-6)²+(y+2)²+z²=121 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (8-10s-6)²+(4+s+2)²+(9+s)²=121 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2-10s)²+(6+s)²+(9+s)²=121 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4-40s+100s²+36+12+s²+81+18s+s²=121 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 133+102s²-22s= 121 |-133 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 102s²-22s=-12 \end{eqnarray*}$

ist es bis hierhin richtig..??! kann mir bitte nicht jemand ein kleines bisschn helfen

ist das bis hierhin richtig?

28.01.2007, 16:56

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

h ist falsch. Das habe ich Dir schon mal gesagt. A liegt auf g und kann somit nicht auf der senkrechten zu g durch K liegen. Desweiteren verstehe ich nicht wozu du h brauchst um B zu berechnen.

28.01.2007, 17:22

bechi

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm
soll ich also g in die Kreisgleichung einsetzen?!

28.01.2007, 17:32

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: hmm
welchen Abstand haben denn M und B?

28.01.2007, 17:36

bechi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: hmm
naja der Abstand beträgt auch r=11

also muss ich etwas mit der geradengleichung machen?!

Die geradengleichung mit 2 multiplizieren?! verwirrt

hilfe!