Skalarprodukt

04.06.2012, 14:40

hotsizzle

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Skalarprodukt

Meine Frage:
Hi. In einer hausaufgabe soll man alle skalarprodukte auf dem $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ bestimmen (C=VR der komplexen Zahlen).

Meine Ideen:
C lässt sich ja auch als VR RxR darstellen. im vorigem Aufgabenteil sollte man alle skalarprodukte auf dem $\begin{eqnarray*} R^1 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Deswegen vermute ich, das hier der schlüssel zur lösung steckt. Jedoch fällt mir dort schon kein konstruktiver ansatz zur lösung ein. Ich nehme an, dass die eindimensionalität des R auschlaggebend ist und eine eingrenzende bedingung für die skalarprodukte liefert, aber das wars auch schon von meiner seite. Danke für eure hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2012, 17:59

hotsizzle01

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Ich mag es nicht zu pushen, aber da der thread jetzt auf der zweiten seite ist, nehme ich an es werden sich das so mehr leute ansehen

05.06.2012, 21:06

mathinitus

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Was hast du denn für V=R rausbekommen?

05.06.2012, 21:44

hotsizzle

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Entschuldige, ich sollte mich präziser ausdrücken. Ich habe schon gar keine Ahnung wie das bei V=R gelöst wird. Ich meinte damit, dass ich zur Lösung V=C das benötige, aber das mir bei ersterem schon schwer fällt.

05.06.2012, 21:46

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle
Entschuldige, ich sollte mich präziser ausdrücken. Ich habe schon gar keine Ahnung wie das bei V=R gelöst wird. Ich meinte damit, dass ich zur Lösung V=C das benötige, aber das mir bei ersterem schon schwer fällt.

Dann wollen wir vielleicht erstmal dieses Problem angehen, dann fallen die die komplexen Zahlen bestimmt auch nicht mehr so schwer. Auch wenn du nun nicht alle in R auf Anhieb findest, so kannst du doch zumindest mal ein paar anbieten, oder fällt dir gar keins ein?

05.06.2012, 21:52

hotsizzle

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Zb das standardskalarprodukt. Bin auch gerade die VL durchgegangen und habe kein anderes Beispiel für einen eindimensionalen Raum gefunden und in den Übungen auch nicht. Spontan kann ich denke ich keines konstruieren.

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05.06.2012, 22:08

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle
Zb das standardskalarprodukt. Bin auch gerade die VL durchgegangen und habe kein anderes Beispiel für einen eindimensionalen Raum gefunden und in den Übungen auch nicht. Spontan kann ich denke ich keines konstruieren.

Dann formuliere das Standardskalarprodukt doch mal bitte als Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aus.
Nehmen wir weiter einmal an, du wüsstest, was $\begin{eqnarray*} \langle 1,1 \rangle \end{eqnarray*}$ ist. Könntest du mit diesem Wissen das Skalarprodukt an noch weiteren Stellen auswerten?

05.06.2012, 22:28

hotsizzle

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Okay: Seien x,y aus R² $\begin{eqnarray*} <x,y>=x_1y_1+x_2y_2 \end{eqnarray*}$ . Sagen wir $\begin{eqnarray*} <1,1>=a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Ich nehme an, du meinst für irgendein skalarprodukt, oder? Das geht, denn zB $\begin{eqnarray*} <2,2>=<1+1,1+1>=<1*1+1*1,1*1+1*1>=1*1<1,1>+1*1<1,1>=a+a=2a \end{eqnarray*}$ und auf gleiche weise für alle vielfachen von (1,1)

06.06.2012, 18:10

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle
Okay: Seien x,y aus R² $\begin{eqnarray*} <x,y>=x_1y_1+x_2y_2 \end{eqnarray*}$ .

Ich meinte das Skalarpodukt auf R, nicht auf R^2.

Zitat:

Original von hotsizzle
Sagen wir $\begin{eqnarray*} <1,1>=a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Ich nehme an, du meinst für irgendein skalarprodukt, oder? Das geht, denn zB $\begin{eqnarray*} <2,2>=<1+1,1+1>=<1*1+1*1,1*1+1*1>=1*1<1,1>+1*1<1,1>=a+a=2a \end{eqnarray*}$ und auf gleiche weise für alle vielfachen von (1,1)

Da hast du dich verrechnet. Mach mal in jedem Schritt nur eine Sache und nicht mehr und sag für jedes Gleichheitszeichen genau, welche Eigenschaft des Skalarproduktes du ausgenutzt hast. Dann solltest du sehen, wo das Problem liegt.

06.06.2012, 19:18

hotsizzle01

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Also von R nach R? Das wäre für x,y:<x,y>=xy oder=?

ich habe den Fehler entdeckt:
$\begin{eqnarray*} <2,2>=<1+1,2>=<1,2>+<1,2> \end{eqnarray*}$ da linear im ersten argument und $\begin{eqnarray*} <1,2>=<1,1+1>=<1,1>+<1,1> \end{eqnarray*}$ da semilinear im zweiten argument, aber da K=R ist es ebenfalls linear im zweiten argument und somit $\begin{eqnarray*} <2,2>=4a \end{eqnarray*}$ . Nun nehme ich an, dass zb für ganzzahlige vielfache von (1,1) sich die lösung potenziert.

06.06.2012, 19:24

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle01
Also von R nach R? Das wäre für x,y:<x,y>=xy oder=?

Nein, das Skalarprodukt geht immer von $\begin{eqnarray*} V^2\to K \end{eqnarray*}$ , wenn K der entsprechende Körper ist. Man steckt ja zwei Vektoren rein.

Zitat:

Original von hotsizzle01
ich habe den Fehler entdeckt:
$\begin{eqnarray*} <2,2>=<1+1,2>=<1,2>+<1,2> \end{eqnarray*}$ da linear im ersten argument und $\begin{eqnarray*} <1,2>=<1,1+1>=<1,1>+<1,1> \end{eqnarray*}$ da semilinear im zweiten argument, aber da K=R ist es ebenfalls linear im zweiten argument und somit $\begin{eqnarray*} <2,2>=4a \end{eqnarray*}$ . Nun nehme ich an, dass zb für ganzzahlige vielfache von (1,1) sich die lösung potenziert.

Jetzt stimmt die Rechnung. Überleg nun einmal allgemeiner für $\begin{eqnarray*} \langle a,b\rangle \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Nutze dabei die multiplikative Variante der Linearität aus.

06.06.2012, 19:42

hotsizzle

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Du meinst dass die Vektoren aus R kommen und deswegen nur eine komponente besitzen. Ich hatte das zunächst ja anders interpretiert. aber das standardskalarprodukt ist das von dir geforderte oder?

Okay. So wie ich das sehe kann ich das immer auf den Fall <1,1> zurückführen. Zb:
$\begin{eqnarray*} <a,b>=<1*a,b>=a<1,b>=a<1,1*b>=ab<1,1> \end{eqnarray*}$ nicht wahr?

06.06.2012, 22:13

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle
Du meinst dass die Vektoren aus R kommen und deswegen nur eine komponente besitzen. Ich hatte das zunächst ja anders interpretiert. aber das standardskalarprodukt ist das von dir geforderte oder?

Genau, das ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \langle x,y \rangle \mapsto xy \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von hotsizzle
Okay. So wie ich das sehe kann ich das immer auf den Fall <1,1> zurückführen. Zb:
$\begin{eqnarray*} <a,b>=<1*a,b>=a<1,b>=a<1,1*b>=ab<1,1> \end{eqnarray*}$ nicht wahr?

Genau richtig, du siehst also, dass es ausreicht den Wert von $\begin{eqnarray*} \langle 1,1 \rangle \end{eqnarray*}$ zu kennen, um das Skalarprodukt vollständig zu kennen. Nun musst du dir nur noch überlegen, für welche Werte von $\begin{eqnarray*} \langle 1,1 \rangle \end{eqnarray*}$ tatsächlich auch ein Skalarprodukt entsteht und du wärst fertig.

Kleiner Tipp zu LaTeX: Falls du dich da verbessern willst, schau dir einmal an, wie ich das Skalarprodukt setzte. Für das Multiplikationszeichen nimmt man im Übrigen $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ .

07.06.2012, 11:08

hotsizzle

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In jedem Falle muss $\begin{eqnarray*} <1,1>>0 \end{eqnarray*}$ sein (Ich finde im Formeleditor nicht deine eckigen klammern). D.h. es kommen nur werte aus $\begin{eqnarray*} R^+ \end{eqnarray*}$ in Frage. Aber das ist ja erstmal keine allzu einschränkende bedingung.
Habe den Satz von Cauchy schwarz endeckt: $\begin{eqnarray*} |<1,1>|\leq||1||\cdot||1||=2||1||=2\sqrt{<1,1>} \end{eqnarray*}$ Um zu vereinfachen setze ich jetzt $\begin{eqnarray*} a:=<1,1> \end{eqnarray*}$ . Es folgt also: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}\leq\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ und durch quadrieren $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4}\leq a \end{eqnarray*}$ Ich erhalte eine quadratische ungleichung mit Lösung $\begin{eqnarray*} 0<a\leq4 \end{eqnarray*}$ . Somit darf a nur diese Werte annehmen. Aber ich sehe nicht wie sich jetzt auf die Anzahl der Skalarprodukte schließen lässt, weil es ja unendlich viele Werte immernoch annehmen kann und es daher auch unendlich viele Skalarprodukte gibt.

07.06.2012, 15:48

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle
In jedem Falle muss $\begin{eqnarray*} <1,1>>0 \end{eqnarray*}$ sein

Richtig.

Zitat:

Original von hotsizzle
(Ich finde im Formeleditor nicht deine eckigen klammern).

Ich sagte doch, schau wie ich es mache. Dazu kannst du mit der Maus einfach über meine Formeln fahren oder bei meinem Beitrag auf zitieren klicken, dann siehst du es.

Zitat:

Original von hotsizzle
Habe den Satz von Cauchy schwarz endeckt: $\begin{eqnarray*} |<1,1>|\leq||1||\cdot||1||=2||1||=2\sqrt{<1,1>} \end{eqnarray*}$ Um zu vereinfachen setze ich jetzt $\begin{eqnarray*} a:=<1,1> \end{eqnarray*}$ . Es folgt also: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}\leq\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ und durch quadrieren $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4}\leq a \end{eqnarray*}$ Ich erhalte eine quadratische ungleichung mit Lösung $\begin{eqnarray*} 0<a\leq4 \end{eqnarray*}$ . Somit darf a nur diese Werte annehmen. Aber ich sehe nicht wie sich jetzt auf die Anzahl der Skalarprodukte schließen lässt, weil es ja unendlich viele Werte immernoch annehmen kann und es daher auch unendlich viele Skalarprodukte gibt.

Du meinst wohl die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Da hast du dich erstens stark verrechnet, zum anderen folgt diese ja aus den Axiomen des Skalarproduktes. Das heißt, wenn du nur diese Axiome überprüfst, hast du damit alles andere auch überprüft. Die Überprüfung dieser Axiome ist also sowohl notwendig als auch hinreichend.

07.06.2012, 16:06

hotsizzle

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Kannst du mir trotzdessen sagen, wo genau der fehler in meiner rechnung liegt?
Es stehen ja noch zwei axiome aus: Die Linearität im ersten Argument und die Symmetrie. Aus letzterem folgt ja, dass die Terme des Skalarproduktes kommutieren müssen. Aber ich sehe nichts, was mich weiter bringt. Du meinst ja ich solle überprüfen für welche werte $\begin{eqnarray*} \langle1,1\rangle \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt existiert. Es kann ja zb auch möglich sein, dass $\begin{eqnarray*} \langle1,1\rangle=4 \end{eqnarray*}$ . Ich definiere mir entsprechend $\begin{eqnarray*} \langle x,y \rangle=4xy \end{eqnarray*}$ , welches dem Standardskalarprodukt nachempfunden und auch alle eigenschaften eines skalarproduktes erfüllt. Dementsprechend kann ich das ja für alle werte >0 machen?
Ich bedanke mich an dieser steller auch noch ausdrücklich dür deine hilfe und bemühungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2012, 16:12

mathinitus

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Genau, also erhalten wir alle Skalarprodukte mit $\begin{eqnarray*} \langle x,y \rangle=axy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ . Das Standardskalarprodukt bekommen wir im Spezialfall $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ .

Der Fehler liegt hier:

$\begin{eqnarray*} ||1||\cdot||1||=2||1|| \end{eqnarray*}$

07.06.2012, 16:24

hotsizzle

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Big Laugh

natürlich, wie dumm von mir
Also lässt sich die Anzahl der Skalarprodukte nicht abzählen?

07.06.2012, 17:23

mathinitus

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Zitat:

Original von hotsizzle
Big Laugh

Big Laugh

natürlich, wie dumm von mir
Also lässt sich die Anzahl der Skalarprodukte nicht abzählen?

Du meinst wohl nicht die Anzahl der Skalarprodukte, sondern die Skalarprodukte selbst. Dafür müsstest du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist.

07.06.2012, 17:50

hotsizzle

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Den Beweis schenke ich uns mal:P. Für K=C kann man dann doch ähnlich argumentieren. Da R teilmene von C und die Skalaprodukte in R nicht abzählbar, gilt dieses auch für C. Aber für diese Teilaufgabe gibt es die gleiche Anzahl an Punkten?! Meines ist ja eine unmittelbare Folgerung

07.06.2012, 17:55

mathinitus

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Was willst du eigentlich immer mit abzählbar? Das war in der Aufgabe doch gar nicht gefragt, oder?
R ist zwar Teilmenge von C, das heißt aber nicht unmittelbar, dass es auf C mindestens genauso viele Skalarprodukte geben muss wie auf R. Auf C musst du dir ähnlich Gedanken machen und die etwas veränderten Axiome prüfen.

07.06.2012, 18:12

hotsizzle

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Du hast recht hatte die frage falsch im kopf. Es geht ja darum alle skalarprodukte herauszufinden und nicht die anzahl derer, entschuldige

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