Ebenen im R³ |
05.06.2012, 14:09 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ebenen im R³ Gegeben sind die Ebenen: , mit dem Parameter und der Punkt a.) Zeigen Sie, dass der Punkt zu allen Ebenen gehört. b.) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebenen mit allen drei Koordinatenachsen. c.) Weisen Sie nach, dass es zu jeder Ebene eine Ebene gibt, die auf senkrecht steht. Welcher Zusammenhang muss dazu zwischen und bestehen? Meine Ideen: a.) b.) , für c bräuchte ich leider einen kleinen Denkanstoß. |
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05.06.2012, 15:03 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ebenen im [latex]mathbb {R}^3[/latex] skalarprodukt wäre so ein stößchen |
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05.06.2012, 15:40 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Daraus würde ich deuten, dass es mit den Normalenvektoren der beiden Ebenen zutun hat. Deren Skalarprodukt sollte 0 ergeben, wenn sie senkrecht zueinander stehen. Daraus würde sich für mich folgendes ergeben: Aber wie formuliere ich dann mathematisch den Beweis? |
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05.06.2012, 18:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schäme dich wie der normalenvektor heißt, solltest du schon wissen |
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05.06.2012, 21:39 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ebenen im R³ Somit wäre dann Für wäre dann das Skalarprodukt null. Richtig? |
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05.06.2012, 22:25 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ebenen im R³ ja, nun berechne halt kr! edit: die 1. komponente ist falsch |
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05.06.2012, 22:43 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe es noch einmal ausprobiert. Dabei habe ich die Werte 7, -7, 3 und -3 ausprobiert. Ich finde den Fehler aber nicht. -.- Und wie soll ich denn k berechen? Muss ich dazu ein Gleichungssystem oder etwas ähnliches aufstellen? Hast Du da eventuell noch einmal einen kleinen Denkanstoß? Sorry wenn ich grade ein Brett vor dem Kopf haben sollte... |
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05.06.2012, 23:36 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stelle die Gleichung auf, löse nach k auf und folgere warum es für k ungleich null immer eine Lösung geben muss. |
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06.06.2012, 09:40 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe da leider Probleme die Gleichung aufzustellen. Das einzige, was mir dazu einfällt ist folgendes: Wenn ich das nach k umforme komme ich auf das hier: Aber ich zweifle daran, dass ich das gemacht habe, was du meintest.. |
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06.06.2012, 10:04 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, genau das meinte ich. Für k bzw k' ungleich null hat diese Gleichung offensichtlich immer eine Lösung. |
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06.06.2012, 10:39 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und damit ist der Beweis erbracht? Mir ist an dieser Stelle nur nicht so ganz klar, woran ich es sehe. Klar 2 Ebenen stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren gleich null wird. Damit ist ja nachgewiesen, dass die beiden Ebenen immer Orthogonal zueinander stehen. Ich verstehe es so, dass da jedem Wert für ein eindeutiger Wert zugewiesen werden kann. Aber kann man das vielleicht noch ein wenig weiter veranschaulichen? |
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06.06.2012, 10:54 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du mit veranschaulichen ? Im Wesentlichen geht es hier um die Übertragung eines geometrischen Sachverhaltes (Ebenen stehen senkrecht zueinander) in eine algebraische Form (Gleichung). Die aus dem Skalarprodukt entstehende, nach k aufgelöste Gleichung sagt uns nun, dass immer eine Lösung existiert, außer k' bzw k wäre null (denn dann würde man ja durch null dividieren, siehe auch Aufgabenstellung). Und diese Existenz einer Lösung für alle k ungleich null bedeutet geometrisch dann wieder, dass es für jede Scharebene eine passende orthogonale Scharebene gibt. |
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06.06.2012, 10:56 | Fibonaccier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Danke Dir. Ich glaube, ich habe es nun verstanden. Ich wollte mit der Veranschaulichung auf das hinaus, was Du als "geometrische Bedeutung" bezeichnet hast. |
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