endliche Körpererweiterung -> Norm surjektiv

05.06.2012, 16:03	Joey2	Auf diesen Beitrag antworten »
endliche Körpererweiterung -> Norm surjektiv Hallo ! wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.. und zwar muss ich folgendes zeigen: Ist L/K eine endliche Körpererweiterung, dann ist die Normabbildung N_(L/K) von L nach K surjektiv. wir sollen hier folgenden hinweis verwenden: die galoisgruppe Gal(L/K) wird von einer Potenz des Frobenius erzeugt. nach meinen informationen bedeutet dies, dass Gal(L/K) von einem element mit einer primpotenz erzeugt wird, also von a^q , wo q eine primpotenz p^n ist und n der grad der erweiterung. allerdings kann ich damit nichts weiter anfangen.. und im skript finde ich auch nur folgendes zur norm: sie ist multiplikativ und es gilt für ein a aus L : N(a) = a^n wäre für jede hilfe dankbar!! danke schon im voraus
06.06.2012, 06:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verschweigst uns hier, dass L und K endliche Körper sind, oder? Sonst ist ja Frobenius erstmal weder Homomorphismus noch Automorphismus. Wenn das so ist, dann schreibe $\begin{eqnarray} N_{L/K}: L^ \to K^* \end{eqnarray}$ (Gruppenhomom.) mal mit Hilfe des Hinweises in der Form $\begin{eqnarray} N(x) = x^a \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \|\operatorname{Kern} N_{L/K}\| = ggt(a,\|L^\|) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \|\operatorname{Bild} N_{L/K}\| = \frac{\|L^\|}{ggt(a,\|L^\|)} \end{eqnarray}$ . Wenn du a richtig bestimmt hast, kommt da natürlich gerade $\begin{eqnarray} \|K^\| \end{eqnarray*}$ raus.
15.09.2014, 20:09	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin zwar nicht der Fragesteller, aber beschäftige mich auch gerade mit obigem Problem. Mit den Hinweisen von tmo bin ich auch zum Ziel gekommen. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich begründen kann, dass $\begin{eqnarray} \|\operatorname{Kern} N_{L/K}\| = ggt(a,\|L^\|). \end{eqnarray*}$ Kann mir hierzu jemand einen Hinweis geben? Viele Grüße, Schreiber

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