polynom

06.06.2012, 11:32

manutd4life

polynom

Hallo! Hab folgende Matrix gegeben:

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab daraus mein charakteristisches Polynom errechnet:

$\begin{eqnarray*} \lambda^3+\lambda^2 a_2+\lambda a_1 + a_0 \end{eqnarray*}$

Also die nächste Aufgabenstellung lautet:

Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von A, dann ist $\begin{eqnarray*} (1,\lambda ,\lambda ^2)^T \end{eqnarray*}$ ein zugehöriger Eigenvektor.

Kann mir dabei irgend jemand helfen bzw. einen Ansatz liefern? Hab leider gar keine Ahnung wie das geht!

mfg

06.06.2012, 11:43

Captain Kirk

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Def. Eigenvektor: x ist EV zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$
Der Ansatz ist also: Einsetzen der Definition.

06.06.2012, 11:56

manutd4life

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Okey Ax erzeugen kann ich aber $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ nicht, wie mach ich das? und was mach ich mit dem gegebenen eigenvektor??

06.06.2012, 11:59

Captain Kirk

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Dein gegebener EV ist das x
(Wie gsagt einsetzen der Definition.)
Wenn du Ax berechnen kannst solltest du auch $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ berechnen können. (Skalarmultiplikation im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ ).
Wie sehen die jeweils aus?

06.06.2012, 13:36

manutd4life

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Re:
$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ax =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\-a_0 -\lambda a_1 -\lambda^2 a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lambda x = \lambda * \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\ \lambda^3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie kann ich das jetzt fortsetzen ?

06.06.2012, 13:46

Captain Kirk

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Soweit richtig.
Wann sind zwei Vektoren gleich?
Bedenke die definierende Gleichung für lambda.

06.06.2012, 14:34

manutd4life

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Re:
Also Matrizen sind gleich, wenn sie das gleiche Format haben (in dem Fall 3 x 1 Matrix) und wenn jedes Element auf der entsprechenden Position von Matrix Ax mit dem jeweiligen Element der Matrix $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ übereinstimmt. Nur kann ich mir gerade nicht vorstellen wie das dritte Element der Matrix Ax mit dem dritten Element der Matrix $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ übereinstimmt!?.

06.06.2012, 14:41

Captain Kirk

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Warum habe ich mir das schon gedacht?

Zitat:

Bedenke die definierende Gleichung für lambda.

Erklärt dein Problem mit $\begin{eqnarray*} -a_0-\lambda a_1 -\lambda ^2 a_2 = \lambda ^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist als Eigenwert per Defintion Nullstelle des charakteristisches Polynoms:
$\begin{eqnarray*} X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 \end{eqnarray*}$ .
Dazu ist keinerlei Vorstellung vonnöten nur etwas algebraisches Umformen.

06.06.2012, 15:06

manutd4life

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Re:
Darf ich das jetzt so stehen lassen ?

$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\-a_0 -\lambda a_1 -\lambda^2 a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\ \lambda^3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a_0-\lambda a_1 -\lambda ^2 a_2 = \lambda ^3 \end{eqnarray*}$

Der Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist per Definition die Nullstelle des charakteristisches Polynoms, daraus folgt durch Umformung:

$\begin{eqnarray*} \lambda^3+a_2 \lambda^2+a_1 \lambda+a_0 \end{eqnarray*}$

mfg

06.06.2012, 15:11

Captain Kirk

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Wenn du eine Gleichung umformst muss auch wieder eine Gleichung rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^3+a_2 \lambda^2+a_1 \lambda+a_0 \color{red} =0 \end{eqnarray*}$

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