orthogonale Basis

06.06.2012, 12:04

1nstinct

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orthogonale Basis

Hallo liebe Mathefreunde smile

smile

Sei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Form auf einem $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} b=(w_1,w_2,w_3) \end{eqnarray*}$ die Matrix: $\begin{eqnarray*} Mat_b(\Phi)=\begin{pmatrix} 2 &2 & 3 \\2 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt will ich eine Orthogonalbasis $\begin{eqnarray*} a=(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ finden.

Ich habe das Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren benutzt:

$\begin{eqnarray*} v_1=w_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=w_2- \frac {\Phi (v_1,w_2)} {\Phi (v_1,v_1)}v_1=w_2-\frac {\Phi (w_1,w_2)} {\Phi (w_1,w_1)}w_1=w_2-\frac {2}{2}w_1=w_2-w_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3=w_3-\frac {\Phi (v_1,w_3)}{\Phi (v_1,v_1)}v_1- \frac {\Phi (v_2,w_3)}{\Phi (v_2,v_2)}v_2=w_3- \frac {\Phi (w_1,w_3)}{\Phi (w_1,w_1)}w_1- \frac {\Phi (w_2-w_1,w_3)}{\Phi(v_2,v_2)}v_2=w_3-\frac {3}{2}w_1-\frac{0}{\Phi(v_2,v_2)}v_2=w_3-\frac {3}{2}w_1 \end{eqnarray*}$

Kann ich denn das so stehen lassen, oder muss ich zuerst die Basis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ausrechnen?

Danke schonmal smile

smile

Edit: in der Gleichung für $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ war ein Folgefehler ( Ich hoffe, das ist das, was du gemeint hast Mi-Troll) . Behoben.

06.06.2012, 12:13

Captain Kirk

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Hab's nicht nachgerechnet aber scheint zu passen.
Bedenke noch 3=-2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ .

Die Basis b kannst du mit den Angaben hier gar nicht ausrechnen, du weißt ja nur dass es eine Basis ist.

06.06.2012, 12:15

Mi-Troll

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RE: orthogonale Basis
niemals orthogonal $\begin{eqnarray*} v_3 - v_2 \| v_1 \end{eqnarray*}$ ... Big Laugh

Big Laugh

06.06.2012, 12:26

1nstinct

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Ich danke dir für deine Antwort.

Also habe ich $\begin{eqnarray*} v_1=w_1, v_2=w_2+w_1, v_3=w_3+w_1 \end{eqnarray*}$

Im weiteren Verlauf der Aufgabe soll ich prüfen, ob sich Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda _1,\lambda _2,\lambda _3 \end{eqnarray*}$ finden lassen, so dass $\begin{eqnarray*} \forall j:\Phi (\lambda _jv_j,\lambda _jv_j)=1 \end{eqnarray*}$ . Dies bezieht sich auf meine Wahl von der Basis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Bedeutet das, ich kann für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eine beliebige Basis wählen, also z.B. $\begin{eqnarray*} b=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) \end{eqnarray*}$ ?
Daraus würde dann $\begin{eqnarray*} a=((1,0,0),(1,1,0),(1,0,1)) \end{eqnarray*}$ folgen.

06.06.2012, 12:37

Captain Kirk

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Du kannst die Basis b nicht wählen. Sie ist beliebig aber fest.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_1=w_1, v_2=w_2+w_1, v_3=w_3+w_1 \end{eqnarray*}$

Diese Darstellung reicht völlig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=((1,0,0),(1,1,0),(1,0,1)) \end{eqnarray*}$

Es kaum etwas anderes:z.B. $\begin{eqnarray*} (1,1,0)=e_1+e_2 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ die Standardbasis)

06.06.2012, 12:43

1nstinct

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Könnte ich dann so weiterrechnen:

$\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda _1v_1,\lambda _1v_1)=\Phi (\lambda _1w_1,\lambda _1w_1)=\lambda _1^2*2=1 \Rightarrow \lambda_1=\frac {1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

Danke nochmal.

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06.06.2012, 12:51

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda _1v_1,\lambda _1v_1)=\Phi (\lambda _1w_1,\lambda _1w_1)=\lambda _1^2*2=1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ja.
Danach: Du bist nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (da gäbe es sogar noch eine Lösung), sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb F _5 \end{eqnarray*}$ , das ist deutlich übersichtlicher da es ja nur 5 Elemente gibt.
Probier im Zweifesfall mit Durchprobieren welche Elemente die Gleichheit erfüllen.(nicht überrascht sein wenn du keins findest.)

06.06.2012, 13:51

1nstinct

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Ich muss also die Elemente $\begin{eqnarray*} (0,1,2,3,4) \end{eqnarray*}$ überprüfen.

$\begin{eqnarray*} \Phi ((\lambda _1w_1,(\lambda _1w_1)=\lambda _1^2*2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda _2v_2,\lambda _2v_2)=\Phi (\lambda _2(w_1+w_2),\lambda _2(w_1+w_2))=\lambda _2^2(2+4+3)=\lambda _2^2*9=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda _3v_3,\lambda _3v_3)=\Phi (\lambda _3(w_1+w_3),\lambda _3(w_1+w_3))=\lambda _3^2(2+6+1)=\lambda _3^2*9=1 \end{eqnarray*}$

Folgt daraus, dass es gar keine $\begin{eqnarray*} \lambda _j \end{eqnarray*}$ gibts, so $\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda _jv_j,\lambda _jv_j)=1 \end{eqnarray*}$ ?

06.06.2012, 14:00

Captain Kirk

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Ich hab keine Ahnung was du da treibst.
Es geht mir nur um die Gleichung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda _1^2*2=1 \end{eqnarray*}$

Und 6=1 und 9=4 in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ .

06.06.2012, 14:09

1nstinct

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$\begin{eqnarray*} \lambda _1^2*2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0^2*2=0\neq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1^2*2=2\neq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^2*2=8=3\neq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^2*2=18=3\neq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4^2*2=2\neq 1 \end{eqnarray*}$ , daher existiert kein $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \in \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ , so dass diese Gleichung erfüllt ist.

Stimmt das denn?

06.06.2012, 14:13

Captain Kirk

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Ja das stimmt.
(Liebe Spamerkennungssoftware: Ich hoffe damit bist du zufrieden.)

06.06.2012, 14:18

1nstinct

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Nun muss ich noch die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \lambda _2*9=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _3*9=1 \end{eqnarray*}$ lösen.

Wenn ich das jetzt verstanden habe, dann ist die Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda _2=\lambda_3=3 \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} 3^3*9=81=1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ gilt.

06.06.2012, 14:27

Captain Kirk

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Wo kommen diese Gleichungen her.
Fehlt da nicht evtl. noch ein Quadrat. In der letzten Zeile gibts auch mid. einen Tippfehler.

Bitte lese was du schreibst bevor du postest. Ich hab keinen Bock drauf zu raten was du meinst und mehrmals nachfragen zu müssen. Das hindert mich am Scrubs schauen.

06.06.2012, 14:47

1nstinct

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Entschuldige bitte, da war ich wirklich ein bisschen zu voreilig.

Ich habe nochmals zusammengefasst:

Ich soll prüfen, ob ich ein $\begin{eqnarray*} \lambda_j \end{eqnarray*}$ finden kann, so dass $\begin{eqnarray*} \forall j: \Phi (\lambda _jv_j,\lambda _jv_j)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Daraus ergibt sich für $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda _1*2=1 \end{eqnarray*}$ (Habe ich dank deiner Hilfe schon klären können).

Für $\begin{eqnarray*} j=2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Phi(\lambda _2v_2,\lambda _2,v_2)=\Phi (\lambda _2(w_1+w_2),\lambda _2(w_1+w_2))=\lambda _2^2* \Phi (w_1+w_2,w_1+w_2)=\lambda _2^2*(\Phi(w_1,w_1)+2\Phi (w_1,w_2)+\Phi (w_2,w_2))=\lambda _2^2*(2+4+3)=\lambda _2^2*9=1 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j=3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda _3v_3,\lambda _3v_3)=...=\lambda_3^2*(\Phi (w_1,w_1)+2\Phi (w_1,w_3)+\Phi (w_3,w_3))=\lambda _3^2*(2+6+1)=\lambda _3^2*9=1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda _2=\lambda_3=3 \end{eqnarray*}$ , da:

$\begin{eqnarray*} \lambda _2^2*9=3^2*9=81=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _3^2*9=3^2*9=81=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

06.06.2012, 15:02

Captain Kirk

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Du übersiehst wieder die zweite Lösung:
-3=2

Außerdem wie schon angemerkt: 9=4=-1 würde die Sache auch leichter machen.
Ansonsten scheint's zu passen.

Zitat:

Im weiteren Verlauf der Aufgabe soll ich prüfen, ob sich Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda _1,\lambda _2,\lambda _3 \end{eqnarray*}$ finden lassen, so dass $\begin{eqnarray*} \forall j:\Phi (\lambda _jv_j,\lambda _jv_j)=1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn das wirklich die exakte Fragestellung ist, ist die Frage bereits mit j=1 negativ beantwortet.

06.06.2012, 15:06

1nstinct

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Ich danke dir für deine Zeit und für deine wirklich umfassende Hilfe.

Ich hoffe, du kannst jetzt in Ruhe Scrubs schauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank smile

smile

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