Skalarprodukt: w1(v,v) und w2(v,v) -> w1=w2

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SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt: w1(v,v) und w2(v,v) -> w1=w2
Hallo! Wink

Hätte mal wieder Fragen zu einer Aufgabe (siehe Anhang).

a) Mich verwirrt irgendwie das ; für was steht das konkret? Für das Skalarprodukt von?
Der Term in der Klammer ist ja gleich, also angenommen wäre ein Faktor, dann müsste logischerweise gelten.

b) Muss ich hier die Def. des Skalarprodukts mit Kommutativität, Assoziativität & Distributivität anwenden?

Vielen Dank schonmal! Freude
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt: w1(v,v) und w2(v,v) -> w1=w2
Wie du schon richtig bemerkst, steht das "omega" für "Skalarprodukt von".
Ein Skalarprodukt ist schließlich nichts anderes als eine spezielle Funktion von zwei Variablen.

In Teil b) musst du zeigen, dass das (Definition durch den rechten Teil) wieder ein Skalarprodukt ist. Also gilt es, die Definition nachzurechnen.

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

a) Ja also in den Klammern steht doch jeweils genau das gleiche Argument, also (v,v)=(v,v).
Und w1 & w2 sind doch über die gleiche Vorschrift definiert, deswegen ist es doch irgendwie logisch, dass w1=w2 gelten muss? (?)

Wie zeige ich das jetzt? verwirrt

b) Also Bilinearität, Symmetrie & positive Definitheit?
Und irgendwie muss ich es ja dann für a und b bestimmen; wüsste grade nicht wie ich da konkret eine Eigenschaft prüfe.
Kann man die Gleichung irgendwie "aufdröseln"?

Merci beacuoup! smile
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershadow,

zu a) nein, das hast du falsch verstanden, und
sind eben nicht über die gleiche vorschrift definiert
sondern erstmal 2 verschiedene skalarprodukte, und man soll hier zeigen, dass
sie unter der in der aufgabe gestellten bedingung dann übereinstimmen.
gruss ollie3
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

a) Naja, rein logisch ergibt dass Sinn:
Wenn das Skalarprodukt von (v,v) nach Vorschrift 1 = dem Skalarprodukt der selben (v,v) nach Vorschrift 2 ist, müssen beide Vorschriften identisch sein.
Aber wie kriege ich sowas formal hin?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverShadow
a) Naja, rein logisch ergibt dass Sinn:
Wenn das Skalarprodukt von (v,v) nach Vorschrift 1 = dem Skalarprodukt der selben (v,v) nach Vorschrift 2 ist, müssen beide Vorschriften identisch sein.
Aber wie kriege ich sowas formal hin?


Naja, was du zeigen musst, ist das für beliebige Vektoren v und w gilt: . DANN sind die Skalarprodukte gleich, weil sie als bilineare Abbildungen gleich sind.

Gruß
MI
 
 
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, hast du einen Tipp wie man das angehen könnte?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja für alle Vektoren und du weißt, dass es sich um Skalarprodukte handelt (also pos. def. symmetrische Bilinearformen).

Wenn's aber für alle v gilt, dann wohl auch für v+w...

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass du gedanklich schon bei der b) bist und ich noch bei der a)?

Weil hier habe ich ja sogar jeweils die gleichen Argumente (v,v) im Skalarprodukt stehen, also warum da ein w reinwurschteln?

Oder sehe ich das nur falsch und du bist auch noch bei der a)?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Da verstehst du mich leider völlig falsch: Du musst in der a) zeigen, dass für alle v,w gilt: . Dann sind die Funktionen für alle Argumente gleich, also sind sie gleich.

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ich verstanden was zu tun ist.

Wenn ich jetzt deinen vorherigen Hinweis berücksichtige komme ich auf


Aber wie kann ich damit jetzt zeigen, dass die beiden Vorschriften für die Skalarprodukte gleich sind?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze doch mal die Eigenschaften, die du gegeben hast smile .
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also erstmal ist es ja symmetrisch, ich darf es also umordnen.
Die Frage ist jetzt, ob ich mit das mit der Bilinearität so machen könnte (bzw. obs sinnvoll wäre):
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershadow,
du bist auf dem richtigen weg, hast es nur formell nicht richtig hingeschrieben,
du meinst natürlich

wie geht es jetzt weiter? smile
gruss ollie3
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Den anderen Teil der Gleichung mit auch so umformen?
Obwohls dann doch eigentlich nichts bringt, oder? verwirrt
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershaddow,
doch, man muss die sache dann nur weiter zu ende denken, schreib mal
die beiden gleichungen untereinander, und vergleich mal jeweils die beiden
rechten seiten, dann wirst du schnell zu dem erwünschten ergebnis kommen.
gruss ollie3
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Jetzt kannst du doch wieder Teile identifizieren, von denen du weißt, dass sie gleich sind (und die kannst du wegschmeißen) und dann steht's doch da!

Gruß
MI

EDIT: irgendwie wurde der letzte Post nicht angezeigt...
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »




Und die 2 Faktoren mit (v,v) (w,w) darf ich jetzt raushauen, und dann steht
da?

b) Und hier muss ich jetzt positive Definitheit, Bilinearität und Symmetrie prüfen?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershaddow,
a) ist jetzt richtig und fertig
zu b) ja
gruss ollie3
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Symmetrie: Ja, das hat doch mit a und b gar nichts zu tun? Denke mal das gilt auf jeden Fall.

Positive Definitheit: Das muss doch nur für 2 gleiche Vektoren gelten (also nicht "v,w"), von daher hat das auch keinen Einfluss auf a und b?

Bilinearität: Also wenn ich mir die Def. so anschaue sehe ich auch nicht warum die a und b einschränken sollen.

Bräuchte da Hilfe verwirrt
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist, wenn a negativ ist? Oder a und b beide 0? Schreibe dir die Bedingungen mal ganz genau auf!

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Term ist


Wenn a und b Null sind, dann ist das Skalarprodukt von =0.
Das widerspricht aber doch der positiven Definitheit, da v&w NICHT =0 sein müssen; das erledigen ja a und b.

Sehe ich es richtig, dass Symmetrie gar keine Auswirkung auf a und b hat?

Wenn a negativ ist....mhm, gute Frage.

Hier gilt ja nicht mehr, dass beide Skalarprodukte gleich sind, oder?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gilt nicht mehr, dass beide Skalarprodukte gleich sind.
Ja, die Symmetrie ist von a ziemlich unabhängig.

Schreibe dir noch einmal hin, was genau Positifdefinitheit bedeutet. Ganz einfach die Defintion.

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Oben hat noch ein b gefehlt.

Ok, positive Definitheit:


und nur wenn .

Im Spezialfall kann v=w sein. Also darf der rechte Teil der Gleichung nicht negativ sein, außerdem geht die 0 auch nicht.
Also muss der rechte Teil der Gleichung insgesamt positiv sein.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und jetzt mal überlegen, was das für a und b heißen muss.

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

1) a negativ, b negativ ist nicht möglich

Die Frage die ich mir jetzt stelle ist, ob man mit größere/kleinere Werte als rausbekommen kann; bzw. ist der Betrag der Skalarprodukte egal mit welcher Vorschrift immer gleich?

Die Frage ist jetzt was passiert, wenn z. B. a pos. und b neg.?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon mal richtig. Wenn die Skalarprodukte gleich sind, dann ist auch offenbar die Bedingung a+b>0 nötig.

Interessant sind ja vor allen Dingen wieder Wie unterscheiden sich die beiden für verschiedene v? Im Unendlichdimensionalen hätte ich gesagt: Genug.

Hier meine Idee - allerdings ist es schon spät (ich denke vermutlich viel zu kompliziert. Außerdem kann ich die Richtigkeit nicht mehr komplett garantieren)...

Was wir wirklich brauchen, ist Vektoren v und w sodass einmal gilt:
und ein anderes mal
und zwar beliebig viel kleiner. Dann könnte man für alle a,b die v,w, so wählen, dass die rechte Seite <=0 würde.
Ich hatte zuerst gedacht, wir könnten mit der Skalierung von v und w arbeiten, aber beide Skalarprodukte skalieren gleich wegen der Linearität, d.h. das Verhältnis der Skalarprodukte bleibt gleich, wenn ich v nur mit einer Konstanten multipliziere.

Also gibt es solche Vektoren, sodass obige Relationen beliebig sind?
Spontan hätte ich gesagt: im endlichdim. nur eventuell, im unendlichdim. ja.
Grund wäre, dass jedes Skalarprodukt eine Norm definiert, aber Normen im endlichdimensionalen sind alle äquivalent, beschränken sich also gegenseitig mit Konstanten. Jetzt sind da natürlich zwischen Normen und Skalarprodukten noch Wurzeln, aber wenn ich das gerade noch richtig sehe, dann ändert das nichts.
Andererseits sind spezifische Normen äquivalent, aber ich kann die Konstanten sicherlich hoch- und runterschrauben, wie ich möchte - d.h. ich könnte eventuell eine Folge von Skalarprodukten finden, für die irgendwann ein Problem entsteht...

Gruß
MI
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershadow,
oh man, MI ist weit über das ziel hinausgeschossen, das ist ja viel zu kompliziert,
das kann man auch einfacher haben.
Also, dass a und b nicht beide negativ sein dürfen, ist schonmal richtig.
Und auf eine wichtige bedingung für a und b stösst du jetzt, wenn du
die linearität von überprüfst...
gruss ollie3
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, z. B.



Aber warum soll das a und b limitieren?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershaddow,
ja, und es gilt auch ,
das führt zu einer zweiten gleichung, die kannst du wie bei a) untereinander-
schreiben und durch "koeffizientenvergleich" feststellen, welche bedingung
für a und b auch noch gelten muss.
gruss ollie3
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Also es muss doch jetzt folgendes gelten:



und



Auch wenn ich die 2 Gleichungen untereinander schreibe, sehe ich da leider nichts verwirrt
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo silvershaddow,
oh sorry, habe da wohl selber was durcheinandergebracht, ich hatte erst
vermutet, dass auch noch a=b gelten muss, damit das mit der linearität von
dem skalarprodukt verträglich ist, werde das nochmal überdenken, melde
mich dann nochmal.
gruss ollie3
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir dann am besten schreiben wie man den kleinen Rest macht?
Stehe ein bisschen unter Zeitdruck, weil ichs morgen abgeben muss.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse in der Zwischenzeit mal zusammen:

- Wir haben die a) vollständig geklärt.
- Wir haben die b) teilweise geklärt:
Aus der Symmetrie gibt es keine Bedingungen an a und b, weil es sich nur um Vorfaktoren handelt.
Aus der Linearität gibt es ebenfalls keine Bed. an a und b (kann auch nicht: Jedes der Skalarprodukte ist linear und die Summe ist ebenfalls linear - das ist der Knackpunkt, damit könnten höchstens Bedingungen an a und b EINZELN gestellt werden, aber da es sich nur um multiplikative Vorfaktoren handelt, gibt es keine).
Aus der Positivität haben wir in jedem Fall, dass nicht a und b kleiner (oder beide gleich) Null sein dürfen.
Die Frage ist jetzt, ob im Allgemeinen einer von beiden Null sein darf.

Mein Argument ist da relativ kompliziert und bei weitem nicht vollständig, es tut mir Leid, dass ich da gerade selbst etwas auf dem Schlauch stehe unglücklich .

Gruß
MI
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, ist ja sowieso toll, dass es hier so zahlreiche Hilfe gibt! Wink
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