Paasche-Index

07.06.2012, 15:07

P3ng

Paasche-Index

Meine Frage:
Habe hier eine Aufgabe, die mir nun schon etwas länger Kopfzerbrechen bereitet, vlt. kann mir ja jemand einen Tipp geben.

Ein Paasche-Index, der u.a. auch Rindfleischpreise enthält, zeigt folgendes Verhalten:
Sinkt der Preis für Rindfleisch um 15% und bleiben alle übrigen Preise unverändert, so sinkt der Paasche-Index um 0.3%.
Wie groß ist der Anteil des Gutes "Rindfleisch" an den hypothetischen Gesamtausgaben der Berichtsperiode, wenn die Preise der Basisperiode zugrundegelegt werden? (Hinweis: Verwenden Sie die Formeln für den Paasche-Index.)

Meine Ideen:
Ich habe nun versucht das Problem allgemein zu betrachten mit P_t = 0,85*P_0 und P_neu = 0,997*P_alt, leider komme ich so nicht zum Ziel!

07.06.2012, 16:37

Kasen75

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Hallo,

ich würde mal für beide Fälle den Paasche Index aufstellen:

vor Senkung des Rindfleischpreises:

$\begin{eqnarray*} I_{PA}^P=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^t \cdot q_i^t)+p_R^t \cdot q_R^t }{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^0 \cdot q_i^t)+p_R^0 \cdot q_R^t}=1 \end{eqnarray*}$

Ich nehme hier an, dass der Index 1 ist.

nach Senkung des Rindfleischpreises:

$\begin{eqnarray*} I_{PA}^P=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^t \cdot q_i^t)+0,85 \cdot p_R^t \cdot q_R^t }{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^0 \cdot q_i^t)+p_R^0 \cdot q_R^t}=0,997 \end{eqnarray*}$

Hier ist der Index 0,997. Also 0,3% niedriger als der Index vor Senkung des Rindfleischpreises.

Jetzt die zweite Gleichung durch die erste teilen. Die Nenner kürzen sich weg. Um dann leichter rechnen zu können würde ich den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^t \cdot q_i^t) \end{eqnarray*}$ durch die Variable $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ substituieren. Und den Ausdruck $\begin{eqnarray*} p_R^t \cdot q_R^t \end{eqnarray*}$ durch die Variable $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Wenn du dann die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auflöst ergibt sich wieviel $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ einem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ entspricht. Dann kannst du dir überlegen, wie du daraus den Gesamtausgabenanteil des Rindfleisches ausrechnest.

Bei Fragen, Zwischenergebnissen, bitte posten.

Mit freundlichen Grüßen

07.06.2012, 22:29

Peng

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Danke für deine schnelle Antwort!

Bin heute leider nicht mehr dazu gekommen. Werde mir das morgen nochmal ansehen und dann entsprechend Feedback geben.

07.06.2012, 22:31

Kasen75

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Hallo,

freu mich schon drauf.

Mit freundlichen Grüßen.

07.06.2012, 22:31

P3ng

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Danke für deine schnelle Antwort!

Bin heute leider nicht mehr dazu gekommen. Werde mir das morgen nochmal ansehen und dann entsprechend Feedback geben.

Iwie verpeilt anzumelden verwirrt

08.06.2012, 09:40

P3ng

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Nach dem Substituieren der Terme erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{A + B}{A + 0.85 \cdot B} = \frac{1}{0,997} \end{eqnarray*}$

Umformen nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{0.15}{\frac{1}{0.997}- 1} * B \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich, dass:

$\begin{eqnarray*} A = 49.85 * B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B = 0.02 * A \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich mir grad noch die Frage, wie ich das zu interpretieren habe.

Grüße

08.06.2012, 10:55

Kasen75

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Hallo,

du hast die richtige Gleichung aufgestellt. Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{A + B}{A + 0.85 \cdot B} = \frac{1}{0,997} \end{eqnarray*}$

Nur hast irgendwie deine Gleichung leider falsch aufgelöst. Du bist zwar mit deinem Ergebnis sehr nah dran, aber es kommt eine glattere Zahl heraus.

Für die Interpretation würde ich A und B gedanklich rücksubstituieren bzw. das Ergebnis in die Formel für den Paasche-Index (vor Senkung des Rindfleischpreises) einsezten. In Verbindung mit der Frage kannst du drauf kommen. Ein bisschen grübeln verwirrt

macht ja auch Spaß. Wenn du gar nicht drauf kommst, werde ich dir natürlich noch Tipps geben.

Mit freundlichen Grüßen

08.06.2012, 12:11

P3ng

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Stimmt, da ist mir wohl beim Umformen ein kleiner Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1 - \frac{0.85}{0.997}}{\frac{1}{0.997} - 1} \cdot B \end{eqnarray*}$

Somit kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} A = 49 \cdot B \end{eqnarray*}$

Resubstituiert ergibt das ganze dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{49} = \frac{(p_{R}^{t} \cdot q_{R}^{t})}{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_{i}^{t} \cdot q_{i}^{t})} \end{eqnarray*}$

d.h. für mich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{49} = 0.0204 \cong 2% \end{eqnarray*}$ , also, dass das Gut Rindfleisch 2% ausmacht.

Ich hoffe ich habe jetzt keinen Denkfehler gemacht verwirrt

08.06.2012, 12:20

Kasen75

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Hallo,

rechnerisch ein perfektes Ergebnis Freude

Ich würde den Anteil Ausgaben des Rindfleisch im Verhältnis zu den Gesamtausgaben setzen und nicht nur im Verhältnis zu den (Gesamtausgaben minus Ausgaben für Rindfleisch). Aber von der Idee her richtig.

Auch hier kommt wieder eine glattere Zahl heraus.

Mit freundlichen Grüßen.

08.06.2012, 14:12

P3ng

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Okay,
da bin ich für den Moment überfragt verwirrt

Was verändert sich für mich denn dann an der Gleichung?

08.06.2012, 15:44

Kasen75

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Hallo,

das war ja richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A = 49 \cdot B \end{eqnarray*}$

Um das Verhältnis von Ausgaben Rindfleisch zu Gesamtausgaben auszurechen muss im Nenner A + B stehen. Wobei dann A= 49*B ist.

Im Zähler steht nur der Ausdruck für Rindfleischausgaben. Und der ist B.

Anders gesagt. Du hast bei den Gesamtausgaben(A+B) die Rindfleischausgaben(B) nicht drin gehabt.

Jetzt müsste es klappen.

Mit freundlichen Grüßen

08.06.2012, 16:28

P3ng

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Aha! Okay ich denke jetzt hab ich es Hammer

Ausgehend von:

$\begin{eqnarray*} \frac{B}{A + B} = 1 \end{eqnarray*}$

Mit: $\begin{eqnarray*} A = 49 \cdot B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{B}{49 \cdot B + B} = 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{50} \equiv 1 \Rightarrow 1 \equiv 0.02 \end{eqnarray*}$

Gut das war dann die Herleitung über die Paasche-Formel:
Wäre nicht auch das hier denkbar gewesen:

$\begin{eqnarray*} 0,003 \equiv 0,15 \Rightarrow \frac{0,003}{0,15} = 1 \Rightarrow 0,02 = 1 \Rightarrow 2% \equiv 100% \end{eqnarray*}$

08.06.2012, 17:04

Kasen75

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Hallo,

schön das es geklappt hat.

Über deine Idee muss ich erst mal nachdenken. verwirrt

Wie gesagt:

Zitat:

Ein bisschen grübeln macht ja auch Spaß.

10.06.2012, 06:27

Kasen75

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Hallo P3ng,

ich glaube ich habs:

Wenn der Paasche Index 1 ist, dann sind die Preise und Mengen ja gleich bzw. man kann annehmen, dass sie gleich sind.
$\begin{eqnarray*} p_i^t = p_i^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_i^t = q_i^0 \end{eqnarray*}$

Also kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} I_{PA}^P=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^0 \cdot q_i^0)+p_R^0 \cdot q_R^0 }{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^0 \cdot q_i^0)+p_R^0 \cdot q_R^0}=1 \end{eqnarray*}$

Wenn der Rindfleischpreis gesenkt wird, ändert sich nur der Rindfleischpreis. Klingt irgendwie logisch.

$\begin{eqnarray*} I_{PA}^P=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^0 \cdot q_i^0)+0,85 \cdot p_R^0 \cdot q_R^0 }{\sum\limits_{i=1}^{n-1} (p_i^0 \cdot q_i^0)+p_R^0 \cdot q_R^0}=1 \end{eqnarray*}$

Mit den Variablen:
vor Rindfleichpreissenkung:
$\begin{eqnarray*} \frac{A+B}{A + B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{A}{A + B}+\frac{B}{A + B} = 1 \ \ \ (1) \end{eqnarray*}$

nach Rindfleichpreissenkung:
$\begin{eqnarray*} \frac{A+0,85 \cdot B}{A + B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{A}{A + B}+\frac{0,85 \cdot B}{A + B} = 0,997 \ \ \ (2) \end{eqnarray*}$

Gleichung (1) - Gleichung (2)
Dabei fällt $\begin{eqnarray*} \frac{A}{A + B} \end{eqnarray*}$ weg.

$\begin{eqnarray*} \frac{0,15 \cdot B}{A + B} = 0.003 \end{eqnarray*}$

Jetzt durch 0,15 teilen

$\begin{eqnarray*} \frac{B}{A + B} = 0,02 \end{eqnarray*}$

Unter der Annahme, dass die Preise und Mengen vor der Rindfleischpreissenkung alle gleich sind, kann man man deiner Idee folgen. Es ist ja nicht verboten anzunehmen, dass die Preise und Mengen vor der Preissenkung alle gleich sind. Genauso wie ich einfach angenommen habe, dass der Preisindex vor der Preissenkung gleich 1 ist.

Insofern eine tolle Idee von Dir. Freude

Hätte ich $\begin{eqnarray*} p_i^0 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p_i^t \end{eqnarray*}$ ersetzt, statt $\begin{eqnarray*} p_i^t \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p_i^0 \end{eqnarray*}$ , hätte allein Annahme konstanter Preise gereicht. Die Mengen sind ja beim Paasche-Index sowohl im Nenner als auch im Zähler $\begin{eqnarray*} P_i^t \end{eqnarray*}$

Somit ist die Aufgabe erschöpfend bearbeitet.

Mit freundlichen Grüßen

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