Adjungierte Abbildung zu T bestimmen.

07.06.2012, 15:46	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierte Abbildung zu T bestimmen. Meine Frage: Die Aufgabe bei der es bei mir hängt lautet: Sei V eine Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} <\cdot,\cdot >_v \end{eqnarray}$ und Norm $\begin{eqnarray} \|\|\cdot \|\|_v = \sqrt{<\cdot,\cdot >_v} \end{eqnarray}$ es seien $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in V \end{eqnarray}$ ohne 0 und sei $\begin{eqnarray} T: V-> V \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} T(v)= <v,v_1>v_2, v \in V \end{eqnarray}$ bestimme die zu T Adjungierte Abb. Meine Ideen: Mein Ansatz ist folgender: $\begin{eqnarray} <T(u),v> = <u,T^(v)> <br /> <=> <br /> <T(u),v> =<br /> < (<u,v_1>v_2),v> <br /> = ?<br /> \end{eqnarray}$ jetzt muss ich das ja so umformen das dann u rechts steht & links dann mein T^ ab zulesen ist oder?...darf ich die Reihenfolge der Vektoren einfach vertauschen? also gilt da das kommutatit gesetzt? eigentlich ja oder? dann käme ich nämlich auf <T(u),v> = <u, T(u)> => T^* = T(u) ? sieht irgendwie falsch aus
07.06.2012, 19:18	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierte Abbildung zu T bestimmen. keine ne idee?
08.06.2012, 14:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verwende für die beiden festen Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1, \vec v_2 \end{eqnarray}$ die Bezeichnung $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \end{eqnarray}$ . Damit lautet deine Abbildung $\begin{eqnarray} \vec v \rightarrow \vec v' \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \vec v'=(\vec v \cdot \vec a)\vec b \end{eqnarray}$ . In Matrixform bedeutet dies $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} v'_1 \\ ... \\ v'_n \end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} a_1b_1 & ... & a_nb_1 \\ ... & & ... \\ a_1b_n & ... & a_nb_n \end{pmatrix}}_{\text{Abbildungsmatrix}}\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die adjungierte Abbildung wird durch die transponierte Matrix vermittelt, welche offenbar durch Vertauschen der beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \end{eqnarray}$ entsteht. Also erhält man auch die adjungierte Abbildung durch Vertauschen dieser beiden Vektoren und bekommt somit $\begin{eqnarray} \vec v'=(\vec v \cdot b)\vec a \end{eqnarray}$
10.06.2012, 22:00	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
also das mit der abbildungsmatrix leuchtet mir nicht so ganz ein...haben dazu auch explizit garnichts aufgeschrieben im scipt...aber wenn ich die vertauschung von a & b vornehme sehe ich ja das die rechnung aufgeht. kann mich dabei ja einfach auf die kommutivität & assoziativiät von vektoren berufen oder? danke
11.06.2012, 11:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich sieht man sofort, dass die adjungierte Abbildung zu $\begin{eqnarray} T\vec v=(\vec v \vec a) \vec b \end{eqnarray}$ lauten muss $\begin{eqnarray} T^+\vec v=(\vec v \vec b) \vec a \end{eqnarray}$ . Anderenfalls wäre die Definition $\begin{eqnarray} \langle T \vec a \|\vec b \rangle=\langle \vec a \|T^+\vec v \rangle \end{eqnarray}$ nicht erfüllt, wie durch Einsetzen klar wird.
11.06.2012, 18:22	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt haste recht, hätte man von selbst drauf kommen können Danke dir lg
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