Zyklische - und Untergruppe

07.06.2012, 19:45

freak_007

Zyklische - und Untergruppe

Man zeige, dass die Menge Z7 \ {0} der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 7 mit
der Multiplikation eine zyklische Gruppe ist (Operationstafel) und bestimme alle ihre
Untergruppen.

wie geht man da vor?

07.06.2012, 20:12

mathinitus

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Du hast doch die Vorgehensweise schon selbst erwähnt: Die Operationstafel aufstellen!

07.06.2012, 20:15

Leopold

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Beginne erst einmal mit der Verknüpfungstafel. Um nicht zu viel Bezeichnungsballast zu haben, notiere statt einer Restklasse einfach ihren Vertreter zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ , schreibe also etwa statt $\begin{eqnarray*} \bar{4} = 4 + 7 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ oder ähnlich einfach $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 4 = 5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 4 \cdot 6 = 3 \end{eqnarray*}$ und so weiter. Stelle die Verknüpfungstafel nun vollständig auf. Warum ist diese eine Gruppentafel? Oder anders gefragt: Was ist nur noch zu überprüfen, um zu gewährleisten, daß eine Gruppe vorliegt?

07.06.2012, 20:37

freak_007

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Ich bin leider nicht so gut in Mathe... :S

Aber so sieht die Operationstafel aus oder?

http://img341.imageshack.us/img341/3150/restklassen.png

Mit Restklassen kenne ich mich auch nicht so ganz aus...

Wie gehts weiter?

07.06.2012, 20:43

Leopold

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07.06.2012, 20:52

freak_007

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hier

07.06.2012, 20:59

Leopold

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Perfekt.

Woran erkennt man, daß eine Gruppe vorliegt?
Entweder erläuterst du das direkt anhand der Tabelle. Oder du berufst dich auf schon bekannte Sätze, die dir das absichern.

Dann bestimme ein Gruppenelement $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so daß alle Elemente der Gruppe Potenzen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sind. $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ geht zum Beispiel nicht, denn

$\begin{eqnarray*} 2^0 = 1, \ 2^1 = 2, \ 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ ist schon wieder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Man bekommt so also nicht alle Elemente.

07.06.2012, 21:08

freak_007

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Ich weiß, dass ich es übertreibe aber ich kann leider nichts dafür, ich bin grad bei diesem Thema wirklich schlecht...

Wie erkennt man an der Tabelle, dass eine zyklische Gruppe vorliegt?

und Warum ist 2³=8 ?

07.06.2012, 21:22

Leopold

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Zitat:

Original von freak_007
Warum ist 2³=8 ?

Das steht doch in deiner Tabelle. Oder hast du die nicht selbst erstellt?

$\begin{eqnarray*} 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 1 \end{eqnarray*}$

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird. Bei einer multiplikativen Gruppe bedeutet dies: wenn alle Elemente Potenzen eines einzigen Elementes sind.

Du mußt also ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden, so daß bei $\begin{eqnarray*} a^0,a^1,a^2,a^3,a^4,a^5 \end{eqnarray*}$ alle Restklassen $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4,5,6 \end{eqnarray*}$ vorkommen. Wie schon gesagt, $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ ist nicht geeignet, da nur die Restklassen $\begin{eqnarray*} 1,2,4 \end{eqnarray*}$ vorkommen. Hinweis: Es gibt zwei erzeugende Elemente. Finde sie durch Probieren!

07.06.2012, 21:44

freak_007

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aso ja ist natürlich 1, deine Schreibweise hat mich verwirrt.

Bei a=12 kommen 1,2,4,6 vor also wieder nicht alles oder habe ich es falsch gemacht?
:S

Wäre ich frech wenn ich von dir verlange, dass du die komplette lösung hier angibst?

Weil ich habe nicht mehr so viel Zeit unglücklich

07.06.2012, 21:52

Leopold

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Zitat:

Original von freak_007
Wäre ich frech wenn ich von dir verlange, dass du die komplette lösung hier angibst?

Ja.

Warum nimmst du $\begin{eqnarray*} a=12 \end{eqnarray*}$ ? Die Restklasse von $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ ist doch gleich der Restklasse von $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ . Dann hättest du ja gleich mit $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ rechnen können. Jetzt rechne einfach einmal weiter:

$\begin{eqnarray*} 5^0, 5^1, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5 \end{eqnarray*}$

Nicht so schnell aufgeben!

07.06.2012, 22:09

freak_007

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jetz hab ichs

5^0=1 5^1=5
5²=4 5³=6
5^4= 2
5^5=3

somit hab ich 1,2,3,4,5,6

und jetzt?

08.06.2012, 07:21

Leopold

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Zitat:

Original von freak_007
und jetzt?

... hast du bewiesen, daß $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ erzeugendes Element der Gruppe ist. Also ist die Gruppe zyklisch. Fertig.

Es gibt übrigens noch ein anderes erzeugendes Element.

08.06.2012, 14:51

Mystic

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Übrigens gibt es bei der Suche nach Erzeugern einer endlichen Gruppe G ein ganz interessantes Rundensystem, wobei jeder "Kandidat" für jeden Primteiler q von |G| eine bestimmte Qualfikation erfüllen muss, nämlich

$\begin{eqnarray*} x^{|G|/q} \ne 1 \end{eqnarray*}$

Im gegebenen Fall ist |G|=6, die Primteiler davon sind 3 und 2 (absteigend geordnet) und daher hat man hier 2 Qualifikationsrunden... Nach Runde 1, nämlich

$\begin{eqnarray*} x^2 \ne 1 \end{eqnarray*}$

scheiden 1 und 6 aus, während 2,3,4,5 sich für die nächste Runde qualifizieren konnten... Nach Runde 2 mit der Anforderung

$\begin{eqnarray*} x^3 \ne 1 \end{eqnarray*}$

scheiden dann auch noch 2 und 4 aus... Endgültig qualifiziert für den Titel "Erzeuger" haben sich dann also 3 und 5... Augenzwinkern

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