lin. Abbildung aus Darstellender Matrix finden

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simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »
lin. Abbildung aus Darstellender Matrix finden
Hallo erstmal, da ich über die SuFu zwar einen Haufen Threads zum Thema lin. Abbildungen/darstellende Matrix allgemein gefunden habe, aber mir keiner (habe nicht alle, aber viele durchgeschaut) weiterhelfen konnte, werde ich das ganze mal hier Schildern.
Da ich lang nichtmehr mit Latex gearbeitet hab, sieht das ganze evtl etwas stümperhaft aus, aber ich denke mal kann es erkennen.

Ich muss folgende Aufgabe bis Montag erledigen:



Gegeben seien die Basis

von
sowie die lineare Abbildung gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,

.




a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschriften von Kb^-1 und Kb.



Mein Problem nun: Ich verstehe was darstellende Matrizen sind. Auch was Koordinatenabbildungen sind.
Aber ich komme leider nicht auf den Ansatz wie ich von der darstellende Matrix auf die lin. Abbildung bzw die Koordinatenabbildungen schließen kann.
Im Prinzip ist ja

Lb = Kb(L(kb^-1(x)))

bzw. sind die Spalten ja per Algorithmus bestimmt worden.
Also die erste Spalte kommt von

Kb(L(Kb^-1(e1)))

(e1=erster Einheitsvektor).
Usw für 2. und 3. Spalte.

Anbei hab ich ein Diagram gepackt, welches das ganze nochmal besser zeigt.



Nun hab ich schon versucht den Algorithmus rückwärts abzuarbeiten, aber das stellt sich irgendwie als extrem schwierig raus, da ich ja weder Kb, Kb^-1 noch L gegeben habe. Somit müsste ich für jede Spalte das ganze abhandeln. Dadurch krieg ich aber halt das Problem, das die Lösung die zB für die erste Spalt Sinn ergibt bei der 2. Schwachsinn ist.

Hoffe es ist verständlich was ich meine und jemand kann mir auf die Sprünge helfen.

MfG Simbabwe
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal: Indizes macht man mit Latex durch _{...}

Zitat:
a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschriften von Kb^-1 und Kb.


Ist auch gesagt, was K sein soll? die Matrix beschreibt ja nach deinen Aussagen einen Endomorphismus namens L
simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. Werd ich gleich nacheditieren. (€: kann ich garnicht da 15min um sind)


Achso ja K sind Koordinatenräume (also sie bilden die Basen auf Koordinatenvektoren ab).

L ist ne lineare Abbildung, allerdings unbekannt halt.

€: mit dem Begriff Endomorphismus kann ich leider nichts anfangen.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal: Ein Endomorphismus (hier korrekterweise: Vektorraum-Endomorphismus) ist hier eine lineare Abbildung, die V auf V abbildet.

Könnte ich lesen, hätte ich das mit K wahrscheinlich schon gestern abend mitgekriegt.

L ist außerdem keineswegs unbekannt, sondern durch die Matrix eindeutig festgelegt, z. Bsp. ist , was man durch Multiplikation des Vektors an die Matrix erhält. Und selbst wenn du L durch die Matrix bezüglich irgendeiner anderen Basis B' darstellst, sieht zwar die Matrix anders aus, es kommt aber das gleiche raus. Hilft dir das weiter?
simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir grad nicht ganz sicher ob du was falsch verstehst, oder ich es nicht ganz blicke.

Die Matrix ist die darstellen Matrix von und nicht von.
L beschreibt ja den Weg von der Ausgangsbasis B zu B'.
beschreib meinem Verständnis nach ja aber den Weg vom Koordinatenvektor von B zum Koordinatenvektor von B' (also im R^3). Sie ist also im Prinzip das gleiche wie wenn ich über den Weg gehen würde |also |.
Also ist .


So sieht es zumindest nach meinem Verständnis aus. Falls das mit dem dir gesagten trotzdem übereinstimmt, habe ich es wohl nicht verstanden.

Trotzdem schonmal danke soweit.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. Abbildung aus Darstellender Matrix finden
Es mag ja tatsächlich sein, dass ich dich falsch verstehe, aber die Formulierung deiner Fragestellung:
Zitat:
Original von simbabwe
Gegeben seien die Basis

von
sowie die lineare Abbildung gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,

.


liest sich für mich wie: Die Matrix gehört zur Abbildung L, wobei die Basen des Vektorraums beides mal B sind. (Es ist nämlich durchaus üblich, eine lineare Abbildung von mit Basis nach mit Basis mit zu bezeichnen. Wenn nun auf abbildet und beidesmal die gleiche Basis verwendet wird, schreibt man gerne auch nur )
 
 
simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Im Anhang ist mal die Definition der darstellenden Matrix wie wir sie hatten.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition steht der, die ich kenne, ziemlich diametral gegenüber.
Bevor jetzt nochmal 2 Tage ungenutzt verstreichen, wie habt ihr denn diese Koordinatenabbildungen definiert?
simbabweq Auf diesen Beitrag antworten »

Anbei die Def und hier noch ein Beispiel:





Mit


nach lösen:
Dann ist durch bestimmt.


Hab das jetzt als Gast geschrieben, da ich dank dauerhaft wechselnder Handyinternetnetze auf der Autobahn ständig ausgeloggt werde.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

ok.

Dann ist jetzt klar, was zu tun ist:
Löse . Und dann hast du dein .
simbabweq Auf diesen Beitrag antworten »

Aah natürlich. Vielen vielen dank. Das ich da nicht von selbst drauf gekommen bin. Die Lösung ist ja so simpel und so in der Art haben wirs ganz am Anfang vom Thema auch gemacht ~.~.
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