Orthogonalbasis

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1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalbasis
Hallo zusammen smile

Sei ein Vektorraum, er wird von den Fkt'en aufgespannt wird.
ist eine Bilinearform mit

Ich soll eine Orthogonalbasis von finden, so dass dass die Diagonaleinträge der Gram'schen Matrix .

Meine Idee:

Zunächst habe ich gebildet.

Ich habs mit Gram-Schmidt versucht:





Dann ist mir aufgefallen, dass , also ein Diagonaleintrag der Gram'schen Matrix schon nicht stimmt.

Vielleicht könnte mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich dieses Problem beheben kann.
Danke schonmal, Gruß
g4de Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
die boardsuche zeigt mir, dass du an der hhu studierst.
das gram-schmidt verfahren wird im allgemeinen bei bilinearformen nicht klappen, das geht i.a. nur für skalarprodukte.
schreib dir die grammatrix von bezüglich deinen 3 gegebenen basisvektoren mal hin
und berechne dann erstmal im reellen mit hilfe von lemma 2.37 aus der vorlesung eine orthogonalbasis.
der rest ist dann ganz einfach
 
 
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo g4ade,

Ich danke dir für deine Antwort. Bei mit ist 2.37 ein Satz, aber ich denke den meinst du auch.

Ich hab als Orthogonalbasis folgende berechnet:





Somit ist sein.

Da muss ich noch betrachen.

Somit ergibt sich und .

Die gesuchte OGB ist
g4de Auf diesen Beitrag antworten »

moin!
jup, und sind richtig,
allerdings hast du nicht beachtet, dass der 0-vektor kein erzeuger ist,
und damit auch kein basisvektor sein kann.
für den dritten basisvektor musst du eigentlich nur noch das orthogonale komplement von
bestimmen
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte als Lösung . Aber im Prinzip könnte ich doch jedes nehmen, oder?
g4de Auf diesen Beitrag antworten »

in der tat ist z.b orthogonal zu deinen basisvektoren bezüglich , aber liegt auch in ?
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich denn nicht als ein Vielfaches von darstellen?
g4de Auf diesen Beitrag antworten »

ne, kannst du leider nicht.
versuch mal den kern von

zu bestimmen, vielleicht hilft dir das schon weiter.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, jetzt hab ichs (dank deinem Tipp Augenzwinkern ).



Nach meinen Rechnungen müsste es passen.
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