3 Punkte auf Gerade im Raum

09.06.2012, 12:49

HolzhackerJoe

3 Punkte auf Gerade im Raum

Meine Frage:
Hallo,

Ich stehe bei folgendem Problem im Rahmen der räumlichen Geometrie auf dem Schlauch: Ich weiß, dass die Punkte A(a,b,c), B(x,y,0) und C(0,0,1) auf einer Geraden liegen. (Der Punkt (a,b,c) liegt auf einer Kugel, aber ich glaube, das ist hier irrelevant.)

Nun soll ich die Punkte in folgende Relation bringen können:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-0}{x-0} = \frac{b-0}{y-0} = \frac{c-1}{0-1} \end{eqnarray*}$

Was diese Formel nun aussagt, ist mir allerdings unklar.
Vielen Dank für Ansätze und Tipps!

Meine Ideen:
Ich nehme an bzw. hoffe, dass es eine Umformung einer "Zwei-Punkte-im-Raum"-Formel ist.
In der Formel werden jeweils die passenden Koordinaten von A und C im Zähler bzw. B und C im Nenner subtrahiert. Die "Herkunft" dieser Formel ist mir aber nicht bewusst.

09.06.2012, 13:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 3 Punkte auf Gerade im Raum
eliminiere in der geradengleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{b}+t\cdot(\vec{c}-\vec{b}) \end{eqnarray*}$

den parameter Augenzwinkern

09.06.2012, 14:36

HolzhackerJoe

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, aber ich glaube, ich bin noch nicht gesegnet genug, um diese sofort zu verstehen Augenzwinkern

Einige Fragen dazu:

Deine Geradengleichung hat als Richtungsvektor (c-b), wie kommt es dazu?

Parameter (wir sprechen von t?) eliminieren heißt genau..? Ich könnte durch t teilen, dann stünde er allerdings noch im Nenner von a und b. Ich könnte b auf die linke Seite bringen, für t=1 wäre dann zumindest die Anordnung der Variablen annähernd stimmig..

Nochmals vielen Dank!

09.06.2012, 14:40

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

vorab: hast du eine ahnung von vektorrechnung?
solltest du, wenn du von geraden im raum sprichst,
aber ich frage lieber

09.06.2012, 14:44

HolzhackerJoe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn damit das Wissen aus dem Abitur gemeint ist. Es ist allerdings schon ein paar Jahre her, daher ist es sicherlich etwas eingerostet..

09.06.2012, 15:57

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HolzhackerJoe
Ja, wenn damit das Wissen aus dem Abitur gemeint ist. Es ist allerdings schon ein paar Jahre her, daher ist es sicherlich etwas eingerostet..

das genügt, da weißt du eh mehr als ich.
als ich noch ein kleiner junge war und zur schule ging, war dies nicht stoff in mathematik Augenzwinkern

da die 3 punkte auf einer geraden liegen sollen, ist jeder vektor von A nach B usw. auch richtungsvektor der geraden, daher auch

$\begin{eqnarray*} \vec{c}-\vec{b} \end{eqnarray*}$

und gleichfalls ist jeder ortsvektor eines geradenpunktes als aufpunkt/ stützvektor der geraden geeignet, hier also $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$

und letzlich bedeutet t elininieren, t durch die größen a, b, c usw. auszudrücken.

schreibe also die obige vektorgleichung in komponentenform.....

13.06.2012, 09:53

HolzhackerJoe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Entstehung deiner Geradengleichung habe ich jetzt verstanden. Ich weiß allerdings nicht, was die Komponentenform ist. Google führt mich zur Komponentenform komplexer Zahlen, aber in Punkto Vektoren habe ich keine brauchbaren Ergebnisse gefunden..?

15.06.2012, 00:44

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 3 Punkte auf Gerade im Raum
In dieser Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{b}+t\cdot(\vec{c}-\vec{b}) \end{eqnarray*}$

sind die Vektoren in ihren Koordinaten (Komponenten) darzustellen, der Parameter bleibt als Faktor davor.
Und zuerst ist auch noch $\begin{eqnarray*} \vec c - \vec b \end{eqnarray*}$ zu berechnen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} .. \\ .. \\ .. \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

22.06.2012, 10:17

HolzhackerJoe

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank bis hierhin! Ich glaube, ich habe es soweit, die Herangehensweise über Vektoren hat mir geholfen! Ich kann nur noch nicht nachvollziehen, wie ich dann aus der Komponentenform wieder den Bogen zu den Brüchen in der Ausgangsgleichung herstellen kann.

Ich stehe jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a-0 \\ b-0 \\ c-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-0 \\ y-0 \\ 0-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sieht in meinen Augen von den Inhalten vielversprechend aus, ich weiß nur nicht, mit welcher Regel ich daraus wieder Brüche erstellen "darf". Handelt es sich hier nur um Verhältnisse, die ich dann einfach gegenüberstellen kann?

22.06.2012, 11:38

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

1.zeile gleichsetzen, steht ja da, ergibt

$\begin{eqnarray*} a-0=x-0\to \frac{a-0}{x-0}=1 \wedge x\neq 0 \end{eqnarray*}$

usw.

22.06.2012, 11:41

HolzhackerJoe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank nochmal! Ich war mir nicht bewusst, dass das erlaubt ist. Damit ist dieses Thema geklärt, ihr seid super!

Neue Frage »

Antworten »

3 Punkte auf Gerade im Raum

Verwandte Themen