Produktmaß/ Unabhängigkeit

09.06.2012, 16:19

Gast11022013

Produktmaß/ Unabhängigkeit

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F}), (\Omega_1,\mathcal{F}_1), (\Omega_2,\mathcal{F}_2) \end{eqnarray*}$ seien Messräume. $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F}) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} X_1\colon\Omega\to\Omega_1 \end{eqnarray*}$ sei eine $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_1 \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsvariable, $\begin{eqnarray*} X_2\colon\Omega\to\Omega_2 \end{eqnarray*}$ sei eine $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_2 \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsvariable.

Setze $\begin{eqnarray*} X\colon\Omega\to\Omega_1\times\Omega_2, \omega\mapsto (X_1(\omega),X_2(\omega)) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass dann gilt:

$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} X(P)=[X_1(P)]\otimes [X_2(P)] \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Moin! Könnt Ihr mir vielleicht helfen?

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Seien $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig, das heißt:

$\begin{eqnarray*} P(X_1^{-1}(F_1)\cap X_2^{-1}(F_2))=P(\underbrace{X_1^{-1}(F_1)}_{\in\mathcal{F}})\cdot P(\underbrace{X_2^{-1}(F_2)}_{\in\mathcal{F}})~\forall~F_i\in\mathcal{F}_i, i=1,2 \end{eqnarray*}$

Und ist nicht:

$\begin{eqnarray*} P(X_1^{-1}(F_1))=[X_1(P)](F_1) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(X_2^{-1}(F_2))=[X_2(P)](F_2) \end{eqnarray*}$ ?

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie es hier weitergeht?

------------------

Edit: Ich habe das jetzt so aufgeschrieben:

Seien also $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig.

$\begin{eqnarray*} [X(P)](F_1,F_2)=P(X^{-1}(F_1,F_2))=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1~\wedge~X_2(\omega)=F_2\right\}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1\right\}\cap\left\{\omega\in\Omega : X_2(\omega)=F_2\right\}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(X_1^{-1}(F_1)\cap X_2^{-1}(F_2)) \end{eqnarray*}$

Dies ist nach Voraussetzung:

$\begin{eqnarray*} =P(X_1^{-1}(F_1))\cdot P(X_2^{-1}(F_2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =[X_1(P)](F_1)\cdot [X_2(P)](F_2) \end{eqnarray*}$ und dies für alle beliebigen $\begin{eqnarray*} F_1\in\mathcal{F}_1, F_2\in\mathcal{F}_2 \end{eqnarray*}$

Und zur Rückrichtung:

Sei $\begin{eqnarray*} X(P)=X_1(P)\otimes X_2(P) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} P(X_1^{-1}(F_1)\cap X_2^{-1}(F_2))=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1\right\}\cap\left\{\omega\in\Omega : X_2(\omega)=F_2\right\}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =[X(P)](F_1,F_2)=[X_1(P)](F_1)\cdot [X_2(P)](F_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(X_1^{-1}(F_1))\cdot P(X_2^{-1}(F_2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall F_1\in\mathcal{F}_1, F_2\in\mathcal{F}_2 \end{eqnarray*}$

Ist's das?

10.06.2012, 13:27

Gast11022013

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RE: Produktmaß/ Unabhängigkeit
Wink

Hallo!

Hab ich noch die Chance auf eine Antwort?

Oder habe ich nur wirres Zeugs vorgeschlagen? Dann bitte ich um eine konstruktive Zurechtweisung. Augenzwinkern

11.06.2012, 10:44

Gast11022013

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RE: Produktmaß/ Unabhängigkeit
Ich weiß: Drängeln ist sch..., aber: Kommt da noch was?

Bin relativ ziemlich drauf angewiesen.

16.06.2012, 10:55

Gast11022013

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RE: Produktmaß/ Unabhängigkeit
Ich weiß ja nicht, was ich falsch mache.

Aber wieso antwortet denn niemand auf die Frage?

Das ist doch eine ganz normale Frage aus dem Bereich Stochastik und ich habe alle Boardregeln eingehalten (außer, dass ich jetzt mehrfach gepostet habe, sorry), meine Ideen gepostet und und und.

unglücklich

Ich weiß, dass man hier freiwillig ist und nichts verlangen darf (das ist auch gut so), aber ein bisschen wundern tu ich mich schon.

16.06.2012, 11:58

speedyschmidt

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} ...=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)=F_1\right\}\cap\left\{\omega\in\Omega : X_2(\omega)=F_2\right\}\right)=... \end{eqnarray*}$

So kannst Du das nicht schreiben, es muss

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ...=P\left(\left\{\omega\in\Omega : X_1(\omega)\in F_1\right\}\cap\left\{\omega\in\Omega : X_2(\omega)\in F_2\right\}\right)=... \end{eqnarray*}$

heißen. Den Rest kannst Du so lassen. Freude

16.06.2012, 12:13

Gast11022013

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Cool!

Vielen Dank für die Korrektur.

Weiß gar nicht, wie ich auf das "=" komme. Big Laugh

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Produktmaß/ Unabhängigkeit

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