Normalverteilung

10.06.2012, 14:53

MatheMathosi

Normalverteilung

Meine Frage:
Hallo allerseits !

Warum ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-\frac{(x-\sigma t)^{2}}{2t}} \, dx =1 \end{eqnarray*}$

Die Begründung die angegeben ist, ist da dies die Dichte einer $\begin{eqnarray*} N(\sigma t,t)-verteilten \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen ist.

Meine Ideen:
Was ich gefunden habe ist:

Die Normalverteilung $\begin{eqnarray*} N(a,\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$ mit Parametern $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R}, \ \sigma>0 \end{eqnarray*}$ ist das durch die Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{(x-a)^{2}}{2\sigma^{2}}} \ \ (x \in \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

festgelegte Wahrscheinlichkeitsmaß.

Wegen $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}}f(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sigma}\cdot e^{-\frac{(x-a)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sqrt{2\pi}=1 \end{eqnarray*}$

(wobei die dritte Gleichheit aus $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{2}}du=\sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$ folgt.)

Danke für eure Hilfe

12.06.2012, 17:10

Gast11022013

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Was genau ist denn eigentlich jetzt noch die Frage.

Du hast doch selbst genannt, daß es sich um die Dichte einer speziellen Normalverteilung handelt und daß das Integral einer Dichte von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ 1 ist, ist ja klar.

Sorry, wenn ich vllt. den Durchblick nicht habe.

12.06.2012, 17:31

MatheMathosi

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Zitat:

Du hast doch selbst genannt, daß es sich um die Dichte einer speziellen Normalverteilung handelt und daß das Integral einer Dichte von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ 1 ist, ist ja klar.

Also mir ist das nicht klar. Warum ist das denn so ?

12.06.2012, 17:42

Gast11022013

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Sofern es sich um eine Dichtefunktion handelt, ist dies eben so festgelegt. Eine Dichte muss eben diese Normierungseigenschaft erfüllen.

Andersherum: Wenn $\begin{eqnarray*} \Omega\subset\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ Borelsch, bestimmt jede Funktion $\begin{eqnarray*} p\colon\Omega\to[0,\infty[ \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften

(i) $\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega : p(\omega)\leq c\right\}\in\mathcal{B}_{\Omega}^{n} ~\forall~c>0 \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}p(x)\, dx=1 \end{eqnarray*}$

genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{B}_{\Omega}^{n}) \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} P(A)=\int_{A}p(x)\, dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{B}_{\Omega}^{n} \end{eqnarray*}$ und man nennt dann $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

12.06.2012, 17:48

MatheMathosi

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Ok.
D.h. wenn ich eine Dichtefunktion von minus bis olus unendlich integriere muss eben immer 1 herauskommen. richtig ?

12.06.2012, 17:58

Gast11022013

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Ja, genau.

12.06.2012, 18:00

MatheMathosi

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ok danke !

12.06.2012, 18:10

Math1986

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Ja, aber dass diese Normierungseigenschaft erfüllt ist muss ja noch bewiesen werden.

Man zeigt zunächst mal:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = \sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)^2 = 2\pi \end{eqnarray*}$
Man führt das ganze nun auf eine zweidimensionale Integration zurück:
$\begin{eqnarray*} \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\cdot\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right) = 2\pi \end{eqnarray*}$
Umformen liefert:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\mathrm dy = 2\pi \end{eqnarray*}$

Nun verwendet man Polarkoordinaten, also die Substitution $\begin{eqnarray*} r^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ , und man erhält:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr = 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr = -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty = 2 \pi \end{eqnarray*}$

Allgemein verwenden wir die Substitution
$\begin{eqnarray*} z= \frac{t-\mu}\sigma \end{eqnarray*}$
und erhalten
$\begin{eqnarray*} \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(\frac{t-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dt= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1 \end{eqnarray*}$

(ich habe den Beweis teils kopiert von Normalverteilung und Fehlerintegral

12.06.2012, 18:19

Gast11022013

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Ja, natürlich sollte man das mindestens ein Mal bewiesen haben.

Das wollte ich natürlich nicht unter den Teppich kehren.

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