Gruppenwirkungen und semidirekte Produkte

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Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenwirkungen und semidirekte Produkte
Hallo,

ich habe zwei Fragen zu Gruppenwirkungen und semidirekten Produkten.

1. Ich verstehe den Sinn von Gruppenwirkungen nicht. Definieren kann man vieles, aber wieso helfen mir Gruppenwirkungen, wieso machen sie Sachen einfacher?

2. Mir ist klar, dass semidirekte Produkte das direkte Produkt verallgemeinern. Nur habe ich das in der Hinsicht noch nicht verstanden, dass ich einfach nicht weiß, wann ich das brauche. Dazu ein Beispiel. Die Zahlen habe ich mal willkürlich so gewählt, dass sie (hoffentlich) passen.

Sei eine Gruppe mit .
Dann gibt es nach den Sylowsätzen genau eine Untergruppe , die 31-Sylow ist.
Genauso folgt, dass es entweder genau eine oder genau 31 Untergruppen geben muss, die 3-Sylow sind.
Wenn es genau eine Gruppe gibt, die 3-Sylow ist, dann gilt .

Frage: Wieso gilt in diesem Fall ? D.h. wieso ist G zyklisch?

Jetzt zu dem Fall, dass es genau 31 Untergruppen gibt, die 3-Sylow sind. Dann ist kein Normalteiler von .

Frage: Wieso gilt dann ?

In der Vorlesung habe ich entsprechende Sätze nicht gefunden, aber das muss nichts heißen. Kann auch sein, dass ich einfach zu dumm zum Suchen bin.

Freue mich jedenfalls über jegliche Hilfe und bedanke mich dafür im Voraus.

Gruß
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenwirkungen und semidirekte Produkte
Naja, zunächst einmal ist ein semidirektes Produkt eine leichte Relaxation gegenüber den Bedinungen eines direktes Produkts: Für die beiden Untergruppen A und B, aus denen es gebildet wird, gilt weiterhin, dass

1.
2.

aber nur mehr

3. Mindestens eine der beiden Untergruppen A oder B ist auch Normalteiler.

Sind beide Untergruppen Normalteiler, so ist man beim Spezielfall des direkten Produkts... Das ist ja auch einer der beiden Fälle, die du hier betrachtest und das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen mit teilerfremden Ordnungen ist ja bekanntlich zyklisch... Ist das alles soweit klar, sodass wir uns dann dem zweiten Fall zuwenden können?

Edit: Du kannst gern hier weitermachen, tmo, da ich ohnehin auf dem Nachhauseweg bin... Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1. Wenn du die Sylowsätze kennst und auch schon deren Beweis gesehen hast, dann solltest du doch schonmal gesehen haben, wozu man Gruppenwirkungen (Gruppenoperationen) gebrauchen kann.


Zu 2. Da hast du ja auch schon direkt selbst ein Beispiel genannt. Ohne semidirekte Produkte kann man wohl kaum eine Klassifizierung endlicher Gruppen vornehmen.

Zu deinem Beispiel.

Im 1. Fall sind ja beide Sylow-Untergruppen Normalteiler, d.h. wir haben Normalteiler N,H gefunden mit und . (Überlege dir mal warum das jeweils gilt).

Dann gibt es einen Satz (Satz über das innere direkte Produkt), dass dann gilt.

Im 2. Fall ist nur ein Normalteiler, aber nur noch eine Untergruppe.
Aber auch hier gilt wieder und .

Und dann sagt eben der Satz über das innere semidirekte Produkt, dass dann gilt.

Dabei wirkt H durch Konjugation auf N, d.h.

mit

Ist H selbst Normalteiler, so vertauschen n und h es gilt für alle . Dann bekommen wir ein direktes Produkt (D.h. der Satz vom inneren direkten Produkt ist nur ein Spezialfall des Satzes über das innere semidirekte Produkt)
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für die Antworten, haben mir schon mal geholfen. Beide auf ihre Art und Weisen. smile

Zu tmo:

gilt, weil in diesem Falle ja gilt und somit N bzw. H nur Elemente mit Ordnung 1 und 3 bzw. 1 und 31 enthalten können. Das heißt, sie schneiden sich nur in der Identität. Dass gilt, ist klar. Bei der anderen Inklusion habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf... aber da überleg ich mir noch was.

Den Satz über das innere direkte Produkt kenne ich nicht, aber ich werde da noch mal nachschlagen.

Hab jetzt ne Weile darüber nachgedacht und ich denke, ein klein wenig hab ich den Sinn von dem ganzen schon verstanden. Wenn auch noch nicht ganz. Danke noch mal, ich werde mich aber vermutlich noch mal melden hier. smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Slash123
Bei der anderen Inklusion habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf... aber da überleg ich mir noch was.


Vielleicht mal ein Wink die richtige Richtung:

Die Idee ist, dass wegen bei der Multiplikation nichts "verschenkt" wird, also in der Tat gilt. Das liefert dann natürlich in unserem Fall, dass NH schon ganz G sein muss.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, oder du zeigst gleich allgemein (ist nicht wirklich schwer!): Sind A und B zwei Untergruppen einer Gruppe G, so gilt
 
 
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. =)

Ich versuch mich mal an der Aussage von Mystic.

Sei , . Dass der Gruppenhomomorphismus surjektiv ist, ist klar. Dann gilt nach dem ersten Isomorphiesatz:



Und .

Somit ist die Mächtigkeit des Kerns gleich der Mächtigkeit aller Elemente, die sowohl in A, als auch in B sind (weil A und B Untergruppen sind). Also

.

Passt das so? smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Slash123
Danke für die Antworten. =)

Ich versuch mich mal an der Aussage von Mystic.

Sei , . Dass der Gruppenhomomorphismus surjektiv ist, ist klar.

Leider ist es schon ab hier falsch: Das beginnt schon damit, dass AB ja nicht einmal eine Untergruppe von G zu sein braucht... Nimm für A und B z.B. zwei verschiedene 2-elementige Untergruppen der .... Ne, AB ist nur das Komplexprodukt der beiden Untergruppen A und B und nichts weiter...
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, die müssen ja vertauschen.... hatte ich vergessen. Ich denk noch mal drüber nach! smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Denk mal so darüber nach:

1. Mehrdeutigkeiten in der Darstellung ab mit a in A, b in B kommen auf jeden Fall durch Elemente d aus hinein, wegen ...
2. Das sind bereits alle Mehrdeutigkeiten...
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Was ich doch jetzt im Grunde genommen zeigen muss, ist, dass wenn , dass , sodass , oder? Das heißt ja im Endeffekt, dass wenn es eine Mehrdeutigkeit in der Darstellung von gibt, dann kann ich eine "nahrhafte Eins" in der Mitte einfügen, die diese Mehrdeutigkeit wegmacht.
Weil wenn das so ist, dann besteht die einzige Arbeit darin, ein solches Element zu finden. Mein erster Gedanke wäre, dass und ...

Dann bleiben allerdings zwei Fragen:

1. Wieso sollte gelten?
2. Wieso sollte gelten?

Hm..
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich sehe jetzt wirklich nicht, wo bei dem nachfolgendem Standardargument das Problem liegen könnte, wäre aber ganz ehrlich daran interessiert, wenn du es mir mitteilen könntest... verwirrt

Wenn nämlich gilt



so folgt doch daraus



und daher weiter



Mehrdeutigkeiten in der Darstellung



entstehen also genau auf eine Weise nämlich durch



Wenn man also die "Mehrfachzählungen" von ab in AB beseitigt, bleiben also tatsächlich



verschiedene Elemente übrig, wie behauptet... Augenzwinkern
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man. Danke. Aber du solltest langsam von mir gewöhnt sein, dass ich leichte Dinge oft nicht sehe, war ja schon oft bei Threads so, bei denen du mir geholfen hast... muss daran noch arbeiten. Vielen Dank. Falls es noch Fragen gibt, melde ich mich hier!
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