Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Neue Frage »

12.06.2012, 17:16 Esto Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Hallo,

wollte mal fragen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe:

Bestimme alle Gruppenhomomorphismen von

Also ich soll jetzt Funktionen finden, die die Definition des Gruppenhomomorphismus(GH) erfüllen. (?)

f(0) muss in diesem Fall laut Definition gleich 0 sein.

Ich habe dann immer f(1) selber definiert als zB f(1) = 2 und dann weiter gerechnet. Also zB f(1) + f(1) = f(2) = 4 usw.... und geschaut ob sich ein Widerspruch ergibt.

Somit habe ich 3 GH ermittelt:
f(x) = x
g(x) = 0
h(x) = 2x

Sind diese richtig? Ansonsten schreib ich mal genauer auf wie ich gerechnet habe.

MfG
12.06.2012, 18:23 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Die Lösung ist richtig. Zweites ist der triviale Homomorphismus, der einfach alles auf das neutrale Element abbildet. Was ist mit den Fällen, für die du einen Widerspruch erhalten hast? Das solltest du auch angeben, um zu zeigen, dass du wirklich alle Homomorphismen gefunden hast.
12.06.2012, 18:32 Esto Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Na z.B.: wenn ich f(1) = 3 setze.
Dann folgt f(1) + f(1) = f(2) = 0
und f(2) + f(1) = f(0) = 3 Widerspruch! Weil f(0) = 0 vorausgesetzt war.

Du meinst das ich jetzt so alle Möglichkeiten hier aufzähle ?

Mfg
12.06.2012, 18:35 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Du musst die hier nicht alle aufzählen wenn du dir da sicher bist, du musst die in einer Abgabe aber schon angeben.
12.06.2012, 18:45 Esto Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Da hast du wohl recht. Glücklicherweise steht in der Aufgabenstellung als Hinweis es gibt genau drei. Also gehe ich davon aus, dass man nicht alles andere auf dem Blatt ausschließen muss.

Aber ich hab gerade ein kleines Problem, beim Durchrrechnen weiterer Bsp. um es mit Widerspruch zu widerlegen:
f(1) = 4
=> f(1) + f(1) = f(2) = 2
=>f(1) + f(2) = f(0) = 0

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, wäre das doch ein GH? verwirrt
12.06.2012, 18:50 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Zitat:
Original von Esto
Aber ich hab gerade ein kleines Problem, beim Durchrrechnen weiterer Bsp. um es mit Widerspruch zu widerlegen:
f(1) = 4
=> f(1) + f(1) = f(2) = 2
=>f(1) + f(2) = f(0) = 0

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, wäre das doch ein GH? verwirrt
Ja, das ist einer.

Rechne f(x) = x nochmal nach smile

Es ist am sinnvollsten, wenn du zu jedem GH eine vollständige Verknüpfungstabelle machst.
 Anzeige 
 
12.06.2012, 18:56 Esto Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Autsch, dann war die Identität wohl falsch Big Laugh
f(1) = 1
=> f(2) = 2
=>f(1) + f(2) = f(0) = 3
Widerspruch!

Das mit der Verknüpfungstabelle mache ich jetzt. Ich werde auch die verbleibenden Möglichkeiten durchrechnen als Übung.

Besten Dank! Freude
13.06.2012, 16:03 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Zitat:
Original von Esto
Autsch, dann war die Identität wohl falsch Big Laugh
Das ist ja auch nicht die Identität, sondern die Inklusionsabbildung. Bei der Identität ist die Definitionsmenge gleich der Wertemenge. Diese ist immer ein Homomorphismus.
14.06.2012, 22:37 Esto Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Also ist die Identität eine Abbildung der Form


Dann kann die Identität in unserem Bsp kein GH sein, oder? (weil wir ja nicht von G abbilden sondern von H nach H)

bzw. besser formuliert: Sie ist kein GH von 3Z nach 6Z

Edit (ist dann halt wie du sagest eine Inklusionsabbildung und keine identität)
15.06.2012, 12:23 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
Zitat:
Original von Esto
Also ist die Identität eine Abbildung der Form
Ja, das ist die Identität. Die Identität ist insbesondere immer ein Gruppenhomomorphismus.

Das, was du da definiert hast, ist eben nicht die Identität sondern eine Inklusionsabbildung.
15.06.2012, 13:27 Esto Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomorphismus (Anwenden)
ok danke, dann ist mir jetzt alles klar.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Hochschulmathematik » Algebra » Gruppenhomorphismus (Anwenden)