Anzahl Würfe, Binomialverteilung |
| 13.06.2012, 15:53 | binomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Anzahl Würfe, Binomialverteilung Hallo, hab da mal eine prinzipielle Frage zur Binomialverteilung: Gegeben sind die Trefferwahrscheinlichkeit p, z.B. 0.75 und ein Intervall für die Anzahl der Treffer, z.B. von 30 bis 40. Gesucht ist die Anzahl der Versuche, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl in dem Intervall liegt maximal ist. Wie löst man so eine Aufgabe? Meine Ideen: meine erste Idee war: Der Erwartungswert soll möglichst in der Mitte des Intervalls liegen, aber ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt. meine zweite Idee: für eine Extremwertaufgabe fehlt mir die richtige Funktion, die ich ableiten könnte... |
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| 14.06.2012, 10:41 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Anzahl Würfe, Binomialverteilung Prinzipiell kann man ja das Intervall [0,n] wählen, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1. Wie lautet denn die komplette Aufgabenstellung? |
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| 14.06.2012, 10:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Anzahl Würfe, Binomialverteilung Naja, es ist ja, wenn ich das richtig verstanden habe, kein Intervall, sondern ein einzelnes n gesucht, sodass für diese Anzahl von Versuchen die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Trefferanzahl in das vorgegebene Intervall hineinfällt maximal wird... Und ja, der Ansatz wobei m die Intervallmitte bezeichnet, ist natürlich schon sinnvoll... Man könnte ja, z.B. mit Excel, mal nachprüfen, ob das für dein Beispiel auch so passt... 
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| 14.06.2012, 23:57 | Excelsior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| hab's probiert Hallo, also die Frage finde ich auch spannend. Aber der Ansatz erscheint mir noch nicht ausgereift. Habe mal mit p=0.95 probiert und dem Intervall 30 ... 40, also m=35 Da komme ich drauf, dass es mit n=40 die größte Wahrscheinlichekeit ist, zwischen 30 und 40 Treffer zu landen, was ich irgendwie auch logisch finde. Die Formel sagt aber ein kleineres n voraus, was ich nicht so logisch finde. Der Erwartungswert bei n=40 istja 38. Das 1/2 in der Formel finde ich da etwas willkürlich. Ich glaube, man bräuchte eine bessere Strategie, habe selbst aber keine gute Idee im Moment. Gruß Excelsior |
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| 15.06.2012, 00:17 | Excelsior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
noch ein Beispiel: p=0.75 und Intervall 300 ... 400, also m=350 Ich denke, dass n=469 die höchste Wsk ergibt, die Formel gibt aber nur 467 an. Gibt es bessere Vorschläge, wie die Aufgabe zu lösen wäre außer probieren? |
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| 15.06.2012, 00:30 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, obige Formel war ja auch nur als "Faustformel" gedacht, und dafür finde ich sie nicht so schlecht... Höhere Genauigkeit bezahlt man auf jeden Fall mit höherer Kompliziertheit, insbesondere müsse man dann wohl auch die Länge des Intervalls berücksichtigen... |
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| 15.06.2012, 00:36 | Excelsior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja, das finde ich jetzt nicht besonders hilfreich. Wie kommt man denn zu höherer Kompliziertheit? Habe grad keinen Plan. Gibt es irgendwelche Formeln? |
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| 15.06.2012, 07:59 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, wenn ich das jetzt so direkt sage, aber langsam finde ich das ich hier ein bißchen unverschämt... 
Selbst "keinen Plan haben", aber sich darüber mockieren, dass eine Faustformel 467 statt des exakten Wertes 469 liefert... 
Immerhin kann man ja mit Excel, wenn I=[l,r] das gegebne Intervall ist, rund um diesen Näherungswert für einige Werte von n mittels leicht eine kleine Tabelle erstellen, aus der man dann den exakten Wert sofort ablesen kann... Was soll also der ganze Aufwand von wegen einer exakteren Formel? 
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| 15.06.2012, 08:11 | Excelsior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, wenn ich das jetzt so direkt sage, aber ich finde, das du unverschämt schnell hier etwas patzig wirst. Kann es sein, dass du ein Problem hast, weil dein Vorschlag nicht perfekt ist. Was meinst du eigentlich, wie ich auf meine Ergebnisse gekommen bin?? Dein Hinweis auf binomvert ist da leicht überflüssig... Ich habe danach gefragt, wie man es *ohne probieren* lösen kann. Wenn dir selbst nichts besseres einfällt, dann mache mir bitte nicht solche unsachlichen Vorwürfe. |
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| 15.06.2012, 09:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man schon so schlau ist und gut in der Materie drinsteckt, dann sollte man das auch zeigen. Sich aber absichtlich dummzustellen mit diesem unsäglichen "hab kein Plan", und dann die anderen mal schön abarbeiten lassen, um ihnen dann mit einem weiteren dieser dämlichen Klassiker "nicht besonders hilfreich" einen einzuschenken, da kann einem schon mal der Kragen platzen. Lege doch bitte das nächste mal klar dar, was du schon versucht hast und wo deine konkreten Wünsche liegen, dann bekommst du vielleicht auch zielgerichtetere Antworten. |
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| 15.06.2012, 10:02 | Excelsior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lies doch bitte beim nächsten Mal, was ich geschrieben habe. Mystic schrieb in seinem ersten Beitrag, dass man mit Excel mal nachprüfen könnte. Darauf hin habe ich geschrieben, dass ich es für ein konkretes Beispiel probiert habe und dann fürnoch eines und dabei festgestellt habe, dass seine Formel nicht stimmt. Dann fragte ich nach einer Lösungsmöglichkeit ohne probieren, für die ich leider keinen Plan habe. Daraufhin werde ich angemeckert. Das finde ich nicht fair. Wenn also jemand mal eine richtig gute und neue Idee zu der Aufgabe hat, kann er oder sie sich gern melden. |
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| 15.06.2012, 10:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich getan. Es ist genau dieser rotzige Ton, mit dem du hier die Helfer vergraulst. |
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| 15.06.2012, 10:13 | Excelsior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so, du hattest schon gelesen, bevor du diese Frage gestellt hast?
Warum dann noch die Frage? Und wer hat zuerst angefangen mit Vorwürfen wie "unverschämt" und "mockieren"?? Ich habe den Eindruck, manche "Helfer" können es einfach nicht ab, wenn sich herausstellt, dass ihre Hilfe grad nicht besonders hilfreich war. Ich finde aber, dass man darauf schon hinweisen darf, sonst hat es wenig Zweck hier weiter zu fragen. |
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| 15.06.2012, 10:54 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hinweis der Moderatoren: Bitte bleibt sachlich und kehrt zum Thema zurück. Die Formel von Mystic ist, wenn sie auch für gewísse Werte nicht optimal ist, immerhin doch ein guter Ansatz, auf dem man auch aufbauen kann. Konstruktive Ideen sind hier gefragt. |
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| 15.06.2012, 11:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Excelsior Hast du eigentlich schon mal in Erwägung gezogen, dass die Tatsache, dass bisher niemand deinen Wunsch nach einer "peferkteren" Formel befriedigen konnte, vielleicht auch damit zusammenhängt, dass es diese vielleicht gar nicht gibt... Immerhin geht es hier darum, für das Intervall [l,r] die Funktion zu maximieren... Und ja, wenn das so einfach wäre, so hätten ich oder einer der anderen Experten hier (ich selbst würde mich da jetzt gar nicht dazuzählen), das wohl schon längst gemacht, obwohl deine Ansprüche an die Exaktheit der Formel ja nicht gerade niedrig sind... Auch von dir selbst ist ja da bisher rein gar nichts gekommen, darin gebe ich HAL voll recht, insbesondere nicht in welche Richtung es überhaupt gehen soll...
P.S.: Und wenn du dich über schon über harmlose Redewendungen wie "mockieren" mockierst, dann habe ich schon ein bißchen den Verdacht, das es dir einfach nur darum geht , mir - aus welchen Gründen auch immer - am Zeug zu flicken... Noch hast du aber die Chance, das zu widerlegen, indem du einfach mal auf das eingehst, was HAL oben geschrieben hat... |
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| 15.06.2012, 13:01 | binomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Leute, die Aufgabe scheint doch schwerer zu sein als ich dachte, oder? Ich überblicke aber nicht, wie kompliziert f(n) als Funktion wirklich ist, ich weiß auch nicht, wie man sie ableiten könnte, um nach dem Maximum zu suchen. Eine andere Idee hätte ich noch, kann sie aber auch grad nicht umsetzen: Würde man evtl. etwas gewinnen, wenn man statt der Binomialverteilung eine Normalverteilung betrachet? |
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| 15.06.2012, 13:39 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst einmal hat man von vornherein eine Näherung, wenn man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung ersetzt, die bekanntlich nur für einigermaßen akzeptabel ist, sodann ging es dann hier um die Maximierung einer ähnlich "haarigen" Funktion nämlich wo man m.E. vermutlich noch ein weiteres Mal dann approximieren müsste... Es scheint wirklich so zu sein, dass man sich mit meiner obigen mehr oder weniger guten Approximation entweder zufriedengeben muss oder eben ausgehend von ihr durch Probieren dann erst den besten Wert berechnet...Mit anderen Worten sich einfach abfinden mit: You can't always get what you want...
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| 15.06.2012, 13:48 | binomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| spannend ... also, das wird ja richtig kompliziert jetzt, nur mal, um darauf hinzuweisen: Die Idee, dass n so zu wählen, dass n*p in der Mitte des Intervalls liegt, hatte ich bereits in meinem ersten Beitrag geäußert. Da ich mit der Normalverteilung noch nicht so vertraut bin, noch eine Frage: Kann man evtl. die Summe durch ein Integral ersetzen und dann ein paar Analysis-Methoden darauf ansetzen? Das Probieren für kleine n ist ja grad noch akzeptabel, obwohl ich mich nur ungern von der Hoffnung auf eine rechnerische Lösung trenne, aber für richtig große n wäre dann die Näherung durch Normalverteilung sicher gerechtfertigt und erfolgversprechend, oder? |
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| 15.06.2012, 14:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: spannend ... Zunächst einmal hab ich oben schon gesagt, dass für die Ersetzung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung die Varianz der Binomialverteilung genügend groß sein muss (mind. 9 sagt man, aber je größer, umso besser)... Des weiteren hab ich oben eigentlich das Integral durch eine Zwischensumme approximiert, in der Hoffnung, dass es dadurch zugänglicher wird, aber du kannst (und man sollte man vielleicht zunächst auch) das Integral selbst betrachten (auf die stetige Anpassung der Grenzen habe ich dabei sogar noch verzichtet, um es nicht noch komplizierter zu machen!)... Dieses in Hinblick auf n zu maximieren führt dann in die Variationsrechnung, jetzt nicht gerade mein Fachgebiet... Aber wer will, kann sich ja daran versuchen... Viel Glück dabei! 
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| 15.06.2012, 14:34 | binomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Variationsrechnung, aha .. keine Ahnung :-( falls sich jemand damit auskennt: Was darf man denn von der Variationsrechnung erwarten? Eine komplette Lösung des Problems oder nur ein Näherungsverfahren? Hätte nicht gedacht, in der Schule mit so schweren Aufgaben konfrontiert zu werden, jedenfalls wenn ich sie ein bisschen verallgemeinere... |
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| 15.06.2012, 14:57 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage, die sich mir stellt, ist ja eher, warum du mit deiner Ausgangsschätzung, wonach der Erwartungswert für dieses n etwa die Intervallmitte sein sollte, so unzufrieden bist... 
Selbst Excelsior hat es nicht wirklich geschafft, eindrucksvolle Gegenbeispiele dafür, dass dies eine gute Schätzung für n darstellt, zu konstruieren, obwohl er es doch redlich versucht hat...
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| 15.06.2012, 15:01 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nochmal zu einer Approximation per Normalverteilung: Mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung geschrieben hätte man , zu maximieren, was man prima per Kettenregel nach ableiten kann , mit . Damit ist man zwar das Integral los, aber zur Lösung von verbleibt eine üble Gleichung, die nur näherungsweise gelöst werden kann. Und wenn ich wählen müsste zwischen dem Ausprobieren einiger diskreter n-Werte, sowie der approximativen Lösung einer Gleichung, die das Problem selbst auch nur approximativ beschreibt, dann wäre meine Wahl klar. |
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| 15.06.2012, 15:39 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deckt sich genau mit meiner Meinung und ich bin froh, dass dies von unabhängiger Seite noch bestätigt wird...
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