Zerlegung symplektischer Raum

14.06.2012, 15:02	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung symplektischer Raum Hallo zusammen Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe, auf die die folgenden Aufbauen. Wir haben in der Vorlesung definiert: Sei $\begin{eqnarray} u=(u_1,u_2,..,u_n) \end{eqnarray}$ eine Orthogonalbasis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda _j=\Phi (u_j,u_j) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ nicht ausgeartet. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \forall u \in U: u=\sum\limits _{j=1}^n \frac {1}{\lambda_j}\Phi (u,u_j)u_j \end{eqnarray}$ . Nun soll ich eine analoge Zerlegung für einen symplektischen Raum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit einer Basis $\begin{eqnarray} v=(v_1,..,v_n,w_1,..,w_n) \end{eqnarray}$ finden. Meine Idee: Sei $\begin{eqnarray} x=(a_1v_1+..+a_nv_n+b_1w_1+..+b_nw_n)=y+z \in V) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y=(y_1,..,y_n)=(a_1v_1,..,a_nv_n),z=(z_1,..,z_n)=(b_1w_1,..,w_nw_n) \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} (\Phi (x,v_j)-y)w_j=(\Phi (a_1v_1+..+a_nv_n+b_1w_1+..+b_nw_n,v_j)-y)w_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a_1\Phi (v_1,v_j)+..+a_n\Phi (v_n,v_j)+b_1\Phi (w_1,v_j)+..+b_j\Phi (w_j,v_j)+..+b_n\Phi (w_n,v_j)-y)w_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a_1\Phi (v_1,v_j)+..+a_n\Phi (v_n,v_j)+b_j-y)w_j \end{eqnarray}$ Da diese Gleichung $\begin{eqnarray} =b_jw_j \end{eqnarray}$ sein soll, muss $\begin{eqnarray} y=a_1\Phi (v_1,v_j)+..+a_n\Phi (v_n,v_j)=\sum\limits _{i=1}^n \Phi (y_i,v_j) \end{eqnarray}$ Als komplettes Ergebnis hätte ich dann: $\begin{eqnarray} x=\sum\limits _{j=1}^n \left\{(\Phi (x,v_j)-\sum\limits _{i=1}^n \Phi (y_i,v_j))w_j+(\Phi (x,w_j)-\sum\limits _{k=1}^n \Phi (z_k,w_j))v_j\right\} \end{eqnarray}$ Vielleicht macht sich ja jemand die Mühe, über alles mal drüberzuschauen. Großes Danke schonmal
15.06.2012, 22:50	g4de	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung symplektischer Raum moin, das objekt $\begin{eqnarray} (\Phi (x,v_j)-y)w_j \end{eqnarray}$ verstehe ich nicht, du multiplizierst hier ein skalar mit einem vektor mit n-kompenenten und dann mit einem vektor mit 2n komponenten. ich denke mal, dass du dich vertippt oder etwas anderes gemeint hast. generell kannst du benutzen, dass jeder symplektische raum eine basis hat, für die gilt: $\begin{eqnarray} \Phi(v_{j},w_{k})=\delta_{j,k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi(w_{j},v_{k})=-\delta_{j,k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi(w_{j},w_{k})=0=\Phi(v_{j},w_{k}) \end{eqnarray}$ Also Grammatrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> \fbox{\(\begin{matrix} 0 \end{matrix}\)} & id_{n} \\<br /> -id_{n} & \fbox{\(\begin{matrix} 0 \end{matrix}\)} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ hat.

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