Quadratische Reziprozität |
14.06.2012, 19:02 | Fermatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Quadratische Reziprozität Sei p eine Primzahl mit und mit . Man zeige, dass genau dann eine Lösung besitzt, wenn gilt. Meine Ideen: Als Tipp wurde uns gegeben, den ggT von 4 und p-1 zu betrachten. Dieser beträgt für 2 oder 4. |
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14.06.2012, 23:05 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Ich seh' nicht ganz wo der Tipp hinführen soll. Ich würde eine Fallunterscheidung nach der Äquivalenzklasse x von p mod 8 machen Ist x=3 setze y =(3p-1)/8 Ist x=7 setze y=(p+1)/8 dann ist a^y eine 4te Wurzel von a. |
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14.06.2012, 23:25 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, im Grunde haben wir folgende allgemeine Situation vorliegen: Wir haben einen endliche zyklische Gruppe G mit Erzeuger a und fragen uns, wie das Bild unter dem Homomorphismus für ein festes k aussieht... Die Anwort ist, dass natürlich von erzeugt wird, und die Ordnung von gegeben ist durch |G|/ggT(k,|G|)... Im hier vorliegenden Fall ist G die prime Restklassengruppe der Ordnung mod p und daher |G|=p-1, ferner k=4 und ggT(k,|G|)=2... Das gleiche Ergebnis hätten wir aber für k=2 erhalten, dh., besteht genau aus den quadratischen Resten mod p... |
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