Quadratische Reziprozität

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Fermatsch Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Reziprozität
Meine Frage:
Sei p eine Primzahl mit und mit . Man zeige, dass genau dann eine Lösung besitzt, wenn gilt.

Meine Ideen:
Als Tipp wurde uns gegeben, den ggT von 4 und p-1 zu betrachten. Dieser beträgt für 2 oder 4.
DHD Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich seh' nicht ganz wo der Tipp hinführen soll.
Ich würde eine Fallunterscheidung nach der Äquivalenzklasse x von p mod 8 machen
Ist x=3
setze y =(3p-1)/8
Ist x=7
setze y=(p+1)/8
dann ist a^y eine 4te Wurzel von a.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DHD
Ich seh' nicht ganz wo der Tipp hinführen soll.

Naja, im Grunde haben wir folgende allgemeine Situation vorliegen: Wir haben einen endliche zyklische Gruppe G mit Erzeuger a und fragen uns, wie das Bild unter dem Homomorphismus



für ein festes k aussieht... Die Anwort ist, dass natürlich von erzeugt wird, und die Ordnung von gegeben ist durch |G|/ggT(k,|G|)...

Im hier vorliegenden Fall ist G die prime Restklassengruppe der Ordnung mod p und daher |G|=p-1, ferner k=4 und ggT(k,|G|)=2... Das gleiche Ergebnis hätten wir aber für k=2 erhalten, dh., besteht genau aus den quadratischen Resten mod p...
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