Polynom mod p

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Vio Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom mod p
Meine Frage:
Man bestimme alle Primzahlen p, für die modulo p vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Meine Ideen:
Als Hinweis wurde uns gegeben, dass man betrachten soll.
Leider hilft mir das nicht weiter. Es wäre nett, wenn mir einer von euch helfen könnte.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

1) Was haben die beiden Polynome miteinander zu tun?
2)Wie kann man denn eine Nst von modulo p als Element der Gruppe auffassen.
3) Was weißt du über diese Gruppe?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Tippfehler meinerseits, die 2) muss natürlich so
Zitat:
Wie kann man denn eine Nst von modulo p als Element der Gruppe auffassen?

lauten.

Aber den Threadersteller interessiert es offenbar eh nicht mehr. Vielleicht war mein Post zu weit weg von einer Komplettlösung.
Vio Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hatte bis heute keine Zeit gefunden, mich wieder mit der Aufgabe zu beschäftigen.
Bin aber mit deinen Tipps nicht wirklich weitergekommen.

1.)
Ich habe einfach mal ein paar Primzahlen eingesetzt und dabei kam heraus, dass
und ist.

Ist das das, was du hören wolltest?

Mit den anderen Hinweisen kann ich noch nichts anfangen ... verwirrt traurig
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1).
Ich sprach explizit von Polynomen.

Der Zusammenhang zwischen und wird meistens in den ersten Wochen des Studiums gemacht-Stichwort: geometrische Summe.

Und mit deinem Hinweis mit meinem Hinweis nichts anfangen zu können kann ich auch nichts anfangen. Wie soll ich die denn weiterhelfen wenn ich nicht weis wo's hakt.
Verstehst du Begrifflichkeiten nicht? Weist du nicht wo das hinführen soll?
Vio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also laut der geometrischen Summe ist .
Die beiden Polynome unterscheiden sich also um den "Faktor" .

Um die Nullstellen modulo p zu berechnen, setzt man ja die Zahlen bis ein und guckt, ob ein Teiler des Funktionswertes ist.
Bei den ersten Primzahlen ist lediglich die 1 eine Nullstelle. Bei mod 11 hingegen ist 1, 3, 4, 5 und 9 eine Lösung. Aber wie man das jetzt allgemein auffassen kann, ist mir noch nicht klar ...

Nein, so richtig weiß ich noch nicht, wo es hinführen soll. Zudem bin ich mir unsicher im Umgang mit den primitiven Restklassen.
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ok, also laut der geometrischen Summe ist . Die beiden Polynome unterscheiden sich also um den "Faktor" .

Formulieren wir's anders: Ist ein NST von so ist es auch NST von

Zitat:
Um die Nullstellen modulo p zu berechnen, setzt man ja die Zahlen bis ein und guckt, ob ein Teiler des Funktionswertes ist.

Das ist die Vorgehensweise bei konkret gegebenem p. Das ist hier nicht der Fall.

Zitat:
primitiven Restklassen.

Hier schmeißt du wohl zwei Begrifflichkeiten durcheinander:
Die prime Restklassengruppe, also
und Primitivwurzeln also Erzeuger obiger Gruppen.

Die Existenz einer Primtivwurzel modulo n ist äquivalent zu einer Eigenschaft der primen Restklassengruppe, das ist genau die, die wir hier haben und verwenden können.
Vio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das mit den Nullstellen habe ich schon mal verstanden.

Und was muss ich jetzt machen? Bzw. wie muss ich weiter vorgehen?

Ich komm mir irgendwie blöd vor unglücklich Big Laugh
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Ordnung hat die Nullstelle von in ?q
Damit erhält man mittels Lagrange eine Bedingung (*) an p.
Danach kann man zeigen, mittels einer Eigenschaft von (die, die ich im letzten Post angesprochen hab'), dass für alle p die (*) erfüllen eine NST hat, und damit sogar zerfällt.
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