Scores v.d. Waerden - Fisher-Yates

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Scores v.d. Waerden - Fisher-Yates
Meine Frage:
Welche Beziehung besteht zwischen den Scores der van der Waerden-Teststatistik und denjenigen der Fisher-Yates-Teststatistik?

Meine Ideen:
Moin!


Zunächstmal:

1. van der Waerden-Teststatistik:

bzw.

Hierbei bedeutet die Inverse der standardisierten Normalverteilung und der Rang von und in der andere Schreibweise ist , wenn die i-te Variable in der kombinierten geordneten Stichprobe zu gehört und , wenn sie zu gehört.

2. Fisher-Yates-Teststatistik

bzw. ,

wobei der Erwartungswert der i-ten geordneten Statistik einer Stichprobe aus einer standardnormalverteilten Grundgesamtheit sein soll.



----

Und jetzt soll ich anscheinend schauen, wie und zusammenhängen.


Kann mir jemand einen Tipp geben?


Edit:

Ich würde einfach mal damit beginnen, den Erwartungswert auszurechnen, vielleicht kommt da ja heraus, daß dieser mit dem -Quantil identisch ist.



Ich weiß, daß die Dichte der k-ten geordneten Statistik gegeben ist durch:

und da es ja um eine standardnormalverteilte Grundgesamtheit geht, komme ich dann auf:





Kann man das jetzt irgendwie zusammenfassen? Wie kommt man jetzt auf den Erwartungswert

?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scores v.d. Waerden - Fisher-Yates
Ich verwerfe meine erste Idee.

Ich habe aber eine zweite Idee.

Kann es sein, daß die gesuchte Beziehung zwischen den Scores darin besteht, daß sie asymptotisch übereinstimmen?


In einem Buch lese ich nämlich Folgendes, wobei mir eine Sache nicht klar ist:


Einerseits:

ist die i-te geordnete Statistik einer Stichprobe aus einer über [0,1]-gleichverteilten Grundgesamtheit (das folgt daraus, daß unabhängig vom Verteilungstyp einer Zufallsvariablen immer gleichverteilt auf [0,1] ist).

Für diese neue Zufallsvariable gilt: und

.

Da für gilt ja, daß

in Wahrscheinlichkeit für .

Daraus folgt aber:

in Wahrscheinlichkeit für .



Nun kommt der Part, der mir noch unklar ist:

Andererseits:

in Wahrscheinlichkeit für , da

für .



Ich sehe aber nicht, was ist. Also sehe ich auch nicht, daß es gegen 0 geht für N gegen unendlich. Wie berechnet man die Varianz? Oder kann man dafür diesen Satz benutzen:

seien unabhängige Stichprobenvariablen einer stetig verteilten Grundgesamtheit mit der Dichte f und der Verteilungsfunktion F. Für sei das p-te Quantil von F. Ist (dabei ist der ganzzahlige Anteil von np) und f in stetig und positiv,so ist:



Damit ist doch .


Weiß nicht, ob dieser Satz hier Sinn macht, aber die Annahmen des Satzes sehe ich erfüllt und diese Varianz ist doch für großes N gleich 0?... verwirrt


------


Meine Schlussfolgeerung aus diesem ganzen ist jedenfalls:

Die Beziehung der Scores besteht darin, daß sie asymptotisch identisch sind.

Ist das korrekt geschlussfolgert?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scores v.d. Waerden - Fisher-Yates
Ich war zu voreilig.

Wir haben die Fisher-Yates-Teststatistik in der Vorlesung nun so definiert (ich hatte aus Versehen die Fisher-Yates-Terry-Hoeffding-Teststatistik genommen):


, wobei stetig gleichverteilt auf [0,1] sind.


Also lautet die Aufgabe:

Welche Beziehung besteht zwischen

und ?


Ich weiß nur, daß bei einer auf [0,1] stetig gleichverteilten Grundgesamtheit gilt, daß

und .


Also gilt schonmal:

.

Aber mehr Beziehung sehe ich da irgendwie nicht...
Weiß jemand weiter?
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