Physik - Federpendel - Auslenkung

15.06.2012, 15:16

thechus

Physik - Federpendel - Auslenkung

Liebes Forum,
auch wenn das hier vielleicht nicht rein passt. Leider bekommt man im Physiker-Bord nur schleppend und langwierig eine Antwort. Daher versuche ich es mal hier.

Laut Wikipedia: (http://de.wikipedia.org/wiki/Federpendel)

Lösen der Schwingungsgleichung

Die Auslenkung sei eine Exponentialfunktion der Form:

$\begin{eqnarray*} y(t) = c \cdot e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Warum ist das so? Woher kommt die Formel her?
Und warum eine Exponentialfunktion? verwirrt

Es kann sein, dass ich diesbezüglich noch ein paar andere Fragen in diesen Thread posten werde.

Ich hoffe, dass ihr mir das beantworten könnt.

Vielen Dank und Gruß,
thechus

15.06.2012, 15:45

Steffen Bühler

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RE: Physik - Federpendel - Auslenkung
Es wird ja im Federpendel-Artikel schon auf den Exponentialansatz hingewiesen, mit dem die hergeleitete Schwingungsgleichung

$\begin{eqnarray*} y''(x) + \omega_0^2 \cdot y(x) = 0 \end{eqnarray*}$

gelöst werden kann. Und dieser sagt eben, daß solch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine spezielle Lösung der Form

$\begin{eqnarray*} y(x) = c \cdot e^{(a + ib) \cdot x} \end{eqnarray*}$

hat.

Viele Grüße
Steffen

15.06.2012, 18:04

thechus

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Ah

Danke schön.

Da kommt mir aber die Frage auf:

$\begin{eqnarray*} c \cdot e^{(a+ib)x} \end{eqnarray*}$

Was hat denn da der Ausdruck "a + ib" darzustellen bezogen auf das Federpendel?

Anders ausgedrückt: Wie komme ich auf das Lambada?

Ich werde mich derweil selbst informieren.

Vielen Dank und Gruß,
thechus

15.06.2012, 18:29

thechus

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Okay....

habs selbst gefunden Big Laugh

Mal schauen, ob mir noch eine Frage kommt...

Bis dahin,

Gruß,
thechus

15.06.2012, 19:03

thechus

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Hey,

doch noch eine Frage:

Selber Wiki-Artikel besagt unten:

$\begin{eqnarray*} y(t) = [...] = \frac{y_{max}}{2i} \cdot 2isin(w_{0}t) \end{eqnarray*}$
Die Schwingungsgleichung für den idealen Federschwinger ohne Auslenkung zu Beginn der Schwingung $\begin{eqnarray*} \alpha _{0} = 0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} y(t) = y_{max} \cdot sin(w_{0} t) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe den Zusammenhang zwischen dem Winkel und 2i nicht verwirrt

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Es tut mir leid dass ich vllt. so banale Fragen stelle, aber ich bin erst in der 11. Klasse (G9) und das ist die erste Differenzialgleichung, die ich je zu Gesicht bekommen hab.

Nach dieser Frage hab ich die Prozedur aber komplett verstanden! Big Laugh

Vielen Dank und Gruß,
thechus

15.06.2012, 19:13

Dopap

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schön.
kleine Anmerkung: man muss nicht über die komplexen $\begin{eqnarray*} e^\lambda \end{eqnarray*}$ gehen, man kann auch ganz harmlos eine Schwingung vom Typ $\begin{eqnarray*} y(t)=A \sin (\omega t +\varphi) \end{eqnarray*}$

ansetzen. mit 2 maliger Ableitung und den Anfangsbedingungen bestimmen sich
$\begin{eqnarray*} \text{A} , \omega ~ \text{und } ~\varphi \end{eqnarray*}$ wie von selbst.

edit----------------------------------------
dein letzter Beitrag ist nicht berücksichtigt.

15.06.2012, 19:28

thechus

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Hey,

Danke für deinen Beitrag!
Das war mir schon klar Big Laugh

Die "einfache" Herleitung habe ich schon im Unterricht gemacht gehabt und Aufgaben dazu zuhause.
Der Lehrer traute mir bloß nicht zu, die DGL. systematisch zu lösen.

Und jetzt wollte ich gucken, ob er damit recht hat. Augenzwinkern

Gruß,
thechus

15.06.2012, 19:52

Dopap

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ja, das ist gut so, aber in Schulmathe ist es eben nicht gleich ersichtlich welches Niveau der Fragesteller hat!
Es gibt auch immer wieder Leute die irgendwas gelesen haben, ohne es verstanden zu haben, und "nerven" dann das Matheboard.
---------------------------------------
und zu: $\begin{eqnarray*} y(t)= \hat y \frac 1 {2i} 2i \sin(\omega_0 t) \end{eqnarray*}$

hier ist unter den hier gewählten Anfangsbedingungen nach Kürzen alles klar.

Bemerkung: enthält die Differenzialgleichung eine Störung, z.B wegen Reibung oder Luftwiderstand oder zähem Medium, dann liefert der allgemeine Ansatz auch den aperiodischen Grenzfall, sowie den Kriechfall

15.06.2012, 20:12

thechus

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Hey,

erneut vielen Dank.
Das ist mir völlig bewusst, dass man sich auch durchmogeln kann. Nur sehe ich bei so etwas keinen Sinn. Da ist es für den Fragesteller sinnvoller, einzelne Teilaspekte zu hinterfragen, und selber auf die Lösung(en) zu kommen.
So mache ich das zumindest...

Und ja... das hätte ich sehen müssen..... Hammer

Hätte mir auch nach deinem ersten post klar werden sollen, fällt mir grad auf.

Danke vielmals!
Alles verstanden - wie immer Lob ans Forum Freude

Gruß,
thechus

15.06.2012, 20:18

Dopap

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Danke für das Lob. Sowas motiviert eben immer wieder Wink

16.06.2012, 10:19

Huggy

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Zitat:

Original von thechus
Die "einfache" Herleitung habe ich schon im Unterricht gemacht gehabt und Aufgaben dazu zuhause.
Der Lehrer traute mir bloß nicht zu, die DGL. systematisch zu lösen.

Und jetzt wollte ich gucken, ob er damit recht hat. Augenzwinkern

Auch der Ansatz

$\begin{eqnarray*} y(t)=ce^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

ist keine systematische Lösung der DGL. Auch hier steckt man das Wissen über die grundsätzliche Form der Lösung schon in den Ansatz hinein. Wobei das hier noch zusätzlich mit dem Wissen verbunden wird, dass sich im Komplexen die Winkelfunktionen durch die Exponentialfunktion ausdrücken lassen.

Eine systematische Lösung sollte kein Vorwissen über die Form der Lösung enthalten. Das geht zum Beispiel so: Aus

$\begin{eqnarray*} \ddot y=-\omega^2 y \end{eqnarray*}$

folgt durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \dot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot y \ddot y=-\omega^2 y \dot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt} \dot y^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt} y^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die DGL einmal integrieren und es verbleibt eine DGL mit getrennten Veränderlichen, die auf eine Integration zurückgeführt werden kann.

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