Kombinatorik - Zählen

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marco123 Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik - Zählen
Meine Frage:
Hallo!

Folgende Aufgabe: Aus acht Personen sollen zwei Mannschaften mit je vier Spielern gebildet werden. Die Frage ist, auf viele Weisen dies möglich ist (wie viele Möglichkeiten es gibt).

Meine Ideen:
Wenn es einfach nur hieße, dass aus acht Leuten ein Team mit vier Spielern gebildet werden sollen, wäre für mich die Sache klar:

"8 über 4" = 70 Möglichkeiten.

Wie kriege ich aber jetzt diese zwei Teams in die Überlegungen rein? Einfach mit 2 multiplizieren?
M@rtin Auf diesen Beitrag antworten »

Das Erste was ich dabei klären würde, wäre, mit welcher Art von kombinatorischem Problem Du es zu tun hast. Hier wäre es ein Experiment ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, also ist Deine Wahl mit Binomialkoeffizient die richtige Formel.

Dein Ansatz stimmt ebenfalls, um aus den 8 Leute ein Team von 4 Leuten zusammenzustellen gibt es Möglichkeiten.

Wieviel Leute bleiben nun über für das zweite Team, und wie wäre dafür der Binomialkoeffizient?

Grüße

Martin
marco123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich vier Personen schon "abgearbeitet" bzw. in eine Gruppe gesteckt habe, bleiben ja nur noch vier andere übrig. Da die Reihenfolge ja egal ist, müsste der Binomialkoeffizient doch eigentlich "4 über 4" = 1, oder nicht?

Macht ja auch anschaulich Sinn: Wenn ich eine Gruppe schon habe, bleibt nur noch eine Möglichkeit für die andere Gruppe, wenn die Reihenfolge - wie gesagt - keine Rolle spielt.

Wäre das so richtig? Und das Ergebnis bliebe dann 70?
M@rtin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das passt. Nachdem man die beiden Teams gebildet hat würde man eigentlich die 8 über 4 mit der 4 über 4 malnehmen für die Gesamtzahl an Möglichkeiten. Da aber wie Du richtig sagtest 4 über 4 eins ergibt, hat das zweite Team keinen Einfluss auf die Gesamtzahl an Möglichkeiten.

Grüße

Martin
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde aus euren Überlegungen eine andere Schlussfolgerung ziehen. Das zweite Team ergibt sich in der Tat aus dem ersten Team. Insofern muss man beim zweiten Team nicht noch mal extra die Kombinationen betrachten. Meiner Meinung ist es sogar so, dass das zweite Team jeweils spiegelbildlich das erste Team abbildet. Also wenn das erste Team die Kombination {1,3,5,7} hat, hat das zweite Team automatisch die Kombination {2,4,6,8}. Somit würde ich so rechnen:



Mit freundlichen Grüßen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Aufgabe kommt es darauf an, ob unter den beiden Mannschaften eine Rangfolge besteht oder nicht. Wenn zum Beispiel die Mannschaft gegen die Sonne spielen muß, ist es etwas anderes, ob

und

oder

und

ist. In diesem Fall darf man nicht durch 2 teilen. Spielt dagegen die Rangfolge keine Rolle, so ist die Lösung von Kasen75 die richtige. Die Aufgabe ist also nicht präzise genug gestellt, da die Nebenbedingungen nicht geklärt sind. Eine gute Gelegenheit, diese Problematik im Unterricht zu besprechen. Einfach den Lehrer fragen ...
 
 
M@rtin Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmmm.... ich weiß zwar, dass Aufgaben zur Kombinatorik oft an Details hängen, allerdings erschließt sich mir nicht wieso man durch 2 teilen sollte/könnte. Im Prinzip zieht man 4 von den 8 Spielern aus einer Urne, ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge. Diese bilden das erste Team. Binomial also 8 über 4 = 70. Das zweite Team wird einfach aus dem Rest gebildet (es gibt also nur eine Möglichkeit, oder eben 4 über 4) und es bleiben 70 Möglichkeiten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachtest du (Menge) oder (Paar)? Im ersten Fall führt eine Vertauschung der Mengen nicht zu einem neuen Objekt, im zweiten schon.
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