Aufgaben zu Äquivalenzrelationen/klassen

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Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Äquivalenzrelationen/klassen
Hey Leute ich habe hier ein paar Ankreuzaufgaben zu Aquivalenzklassen.
Es steht eine Aussage da und man muss ankreuzen ob richtig oder falsch

Sei eine Äquivalenzrelation auf der Menge .

1. Für jedes ist die Menge eine Äquivalenklasse von

2. Wenn nur zwei Äquivalenzklassen hat, so ist eine Äquivalenzklasse

3. Wenn es ein gibt, so dass eine Äquivalenzklasse ist, so hat nur zwei Äquivalenzklassen

4. Für alle gilt: Wenn weder noch gilt, so gilt auch nicht

5. Für alle gilt: Wenn weder noch gilt, so gilt jedenfalls

Es gibt zu den Aufgaben zwar Lösungen, allerdings ohne Begründung

Aufgabe 1 ist klar denn in der Äquivalenklasse dürfen nur Elemente sein, die mit x in Relation stehen, daher ist die Aussage falsch

Aufgabe 2 und 3 sind nach lösung richtig und 4 und 5 sind falsch, aber ich verstehe nicht genau warum

vielleicht kann mir da einer von euch weiterhelfen.

LG Dennis
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Äquivalenzrelationen/klassen
Hallo Krinsekatze,

Zitat:
Original von Krinsekatze
Aufgabe 1 ist klar denn in der Äquivalenklasse dürfen nur Elemente sein, die mit x in Relation stehen, daher ist die Aussage falsch


Ich verstehe nicht ganz, was du Aussagen möchtest, aber ich glaube, dass es falsch ist.

Schauen wir uns nämlich den Fall 2. an: da hat Schlange nur zwei Äquivalenzklassen. Was tut jetzt B(x)? Es zerlegt meine Menge X disjunkt in zwei Teilmengen. Eine davon ist die Menge der Zahlen, die zu x äquivalent sind (das ist das Komplement von B(x) und offensichtlich eine Äquivalenzklasse) und das andere ist eben B(x) selber, was dann aber auch eine Äquivalenzklasse ist.

Im Fall 1. muss man sich schon ein konkretes Gegenbeispiel überlegen (natürlich reicht irgendeine Äquivalenzrelation mit mehr als 2 Äquivalenzklassen - wie wäre es zum Beispiel mit "X= natürliche zahlen; Schlange: Rest von n nach Division durch 3")

Fall 3.: Ich würde mal annehmen, ich habe mehr als 2 Äquivalenzklassen und versuchen, das zum Widerspruch zu führen (sollte kein großes Ding sein Augenzwinkern ).

Fall 4. und 5.: Laufen wieder auf Gegenbeispiele hinaus (das ist sowieso das effektivste Mittel, um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist): hier sollte es die gute, alte "=" Relation tun, wenn ich mich nicht verschaut habe. x_1, x_2, x_3 musst du dann natürlich entsprechend wählen.


lg
kai Wink
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja so einfach ist das für mich noch nicht smile
Habe gerade erst angefangen mich da einzuarbeiten und scheinbar fallen mir deshalb die vermeintlich einfachen Aufgaben immer noch schwer. unglücklich

Ich dachte zu Fall 1 folgendes:

Die Menge B(x) enthält ein y € X welches die Eigenschaft hat dass es nicht mit x in Relation steht.

Also kann diese Menge doch keine Äquivalenzklasse zu X sein, da diese Menge kein Element enthält, dass mit x € X in Relation steht oder?

Wo ist da mein Denkfehler

Dieses Kapitel mit den Relationen macht mir die meisten Schwierigkeiten aber warum?

LG Dennis
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Keine Angst. Das war nicht so gemeint, dass das alles total einfach wäre, da steckt immerhin etwas Abstraktion dahinter.

Also was genau sagt es jetzt für ein y aus, in B(x) zu sein:

du nimmst dir ein festes x, dass in X liegt. Nehmen wir als einfaches Beispiel mal X= natürliche Zahlen und x=2. Als Äquivalenzrelation nehme ich mir jetzt einmal "~: zwei Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn sie gerade sind".

Was ist dann B(2)? Ganz einfach: alle Zahlen, die bezüglich Schlange nicht zu 2 äquivalent sind, also alle ungeraden Zahlen. Das ist aber eine der zwei Äquivalenzklassen von "~": diese sind nämlich die geraden und die ungeraden Zahlen.

Was passiert jetzt aber, wenn ich mir eine Äquivalenzrelation nehme, die meine Menge X (in dem Fall gerne auch N) in mehr als 2 Äquivalenzklassen zerlegt (Beispiel habe ich z.B. in meinem ersten Post gegeben)?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Louis1991
Als Äquivalenzrelation nehme ich mir jetzt einmal "~: zwei Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn sie gerade sind".


Das ist keine Äquivalenzrelation.
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von Louis1991
Als Äquivalenzrelation nehme ich mir jetzt einmal "~: zwei Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn sie gerade sind".


Das ist keine Äquivalenzrelation.


"wenn sie beide gerade oder beide ungerade sind". Whatever.
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von Louis1991
Als Äquivalenzrelation nehme ich mir jetzt einmal "~: zwei Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn sie gerade sind".

Das ist keine Äquivalenzrelation.
..was streng genommen davon anhängt, auf welcher Menge du diese Relation definierst Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok: auf ist es zumindest keine Äquivalenzrelation. Mir mag im Moment auch keine andere Menge einfallen, wo das eine interessante Äquivalenzrelation wäre... Augenzwinkern

Einigen wir uns doch noch auf (wobei man dann natürlich zumindest die ganzen Zahlen noch kennen bzw. zulassen muss, damit das Ding symmetrisch wird), dann kann man damit auch "rechnen" und die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation leicht nachweisen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Ok: auf ist es zumindest keine Äquivalenzrelation. Mir mag im Moment auch keine andere Menge einfallen, wo das eine interessante Äquivalenzrelation wäre... Augenzwinkern
Auf der Menge aller geraden Zahlen wäre es zumindest eine Äquivalenzrelation, wenn auch keine sehr interessante - dass sie interessant wäre habe ich aber auch nicht behauptet Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Darum ging es mir ja, dass es eine sein kann, habe ich ja nie bestritten (aber wer will sich schon so eine langweilige Äquivalenzrelation angucken?). Augenzwinkern

So, jetzt würde ich aber sagen das war genug Beiwerk, überlassen wir Krinsekatze und Louis wieder das Feld.
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe jetzt dass es bei Äquivalezklassen auf die Äquivalenz der Elemente ankommt. Also sind in einer Ä-Klasse alle Elemente die mit x in Relation stehen und in einer anderen sind alle Elemente, die mit x nicht in Relation stehen.
Dann versteh ich allerdings nicht, warum die erste Aussage Falsch sein soll.
B(x) ist doch dann eine Äquivalenzklasse.

Irgendwie steh ich gerade aufm Schlauch aber ich kann deine Frage nicht beantworten unglücklich
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Aussage ist genau dann richtig, wenn die zur Äuivalenzrelation gehörige Partition genau zwei Klassen besitzt... Da man nichts sonst über die Äquivalenzrelation weiß, muss man die Ausage klar als falsch einstufen...
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Also danke für die klare Antwort, aber kannst du mir deine Antwort ein bisschen erklären?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Frage ist doch, ob die Elemente außerhalb der Äquivalenzklasse von x auch eine Äquivalenzklasse bilden... Und das ist eben genau dann der Fall, wenn es 2 Äquivalenzklassen gibt...
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

OH man ich fühl mich grad so blöd smile
Also die Frage ist doch schlicht und einfach, ob B(x) eine Äquivalenzklasse der Relation ist, oder?

Aber in der Aussage steht ja nichts von 2 Äquivalenzklassen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Krinsekatze
Also die Frage ist doch schlicht und einfach, ob B(x) eine Äquivalenzklasse der Relation ist, oder?

Ja, die Frage ist, ob B(x), also die Vereinigung aller Äquivalenzklassen mit Ausnahme der von x, auch eine Äquivalenzklasse ist...Das ist sie natürlich genau dann, wenn B(x) schon selbst eine Äquivalenzklasse ist... Dann gibt es aber zwei Äquivalenzklassen, nämlich die Klasse von x und eben B(x)...

Nimm mal konkret das Beispiel, wo m eine natürliche Zahl und die Realtion ~ auf definiert ist durch



Für m=2 wäre dann die Bedingung erfüllt, denn wenn z.B. x=0 ist, dann ist die Klasse von x die Menge der geraden Zahlen, B(x) die der ungeraden Zahlen... Für m=3 und wieder mit x=0 wäre sie aber nicht erfüllt, da die Menge der nicht durch 3 teilbaren Zahlen keine Äquivalenzklasse bildet (warum nicht?)...
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Oh hat vielleicht einer von euch einen Link zu einer Seite auf der das mit den Ä-Relationen gut erklärt wird?
Dann würde ich mir das noch mal anschauen und dann vielleicht weiterfragen.

Ich finde weder gute Videos noch eine Seite auf der das gut und vielleicht mit einem simplen Beispiel erklärt wird. Und im Beutelspacher wird darauf nicht so wirklich eingegangen. Übrigens habe ich daraus auch die Aufgaben. Und das sind nichmal die Übungsaufgaben sondern nur solche Ankreuzaufgaben.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Schonmal auf Wikipedia geguckt?
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja habe ich und das versteh ich da nich so ganz.
Das was im Beutelspacher steht hab ich auch verstanden, das ist aber nicht länger als ne halbe Seite und das reicht meiner Meinung nicht aus um die Aufgaben am Ende des Kapitels zu lösen, zumal die Aufgaben an denen ich mich versuchte eigentlich ein reines Abfragen sein sollte.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal die Rückfrage: was hast du nicht verstanden? Auf Wikipedia gibt es mehrere, auch anschauliche Beispiele. Im Beutelspacher sind bei mir zumindest ~3 Seiten zu Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen inklusive einiger (anschaulichen) Beispiele. Auch Aussagen über Äquivalenzklassen werden dort gemacht. Werde also bitte etwas konkreter, was genau du nicht verstehst und wo es hängt.
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Albrecht Beutelspacher, Lineare Algebra 7. Auflage vom Vieweg+Teubner Verlag
Seite 4 habe ich verstanden anhand von Selbstgewählten Beispielen.

Alle Informationen Auf Seite 5, sprich die Definition von Äquivalemzklasse habe ich verstanden.
Den Satz über Äquivalenzklassen und über die Gleichheit von Äquivalenklassen habe ich auch verstanden.

Sowie die dazugehörigen Beweise nachvollzogen.

Allerdings kann ich die Aufgaben nicht lösen, sprich das aus dem Kapitel Äquivalenzrelationen angeeignete Wissen reicht dazu nicht aus.

Es fällt mir jetzt auch schwer zu sagen, was ich nicht verstanden habe, da es eher ein "ich weiß noch nicht genug"- Gefühl ist.

Was wären denn mögliche Definitionen oder Begriffe die mir noch Fehlen um mehr Verständnis zu erlangen. Denn das was ich bisher gelernt habe, habe ich auch verstanden.

Also präziser kann ich dir mein Problem nicht erläutern.

LG Dennis
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal ab in die Materie, die notwendigen Konzepte solltest du damit nämlich eigentlich alle haben, wenn du die entsprechenden Seiten im Beutelspacher durchgearbeitet und nachvollzogen hast.

Sei eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf der Menge .

Betrachte nun die Menge für ein , also die Menge aller Elemente, die nicht äquivalent zu sind. Nun ist die Frage, ob es sich bei um eine Äquivalenzklasse bzgl. handelt.

Was wissen wir? ist Äquivalenzrelation auf , also ist insbesondere die Menge der Äquivalenzklassen eine Partition von . Wir fixieren jetzt einmal ein Element . Überlege dir, welche Elemente dann in liegen oder andersrum: welche Elemente liegen dann nicht in , kannst du damit dann eine Aussage über die Menge aller Äquivalenzklassen machen?
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Die einzige Aussage die ich jetzt über die Menge aller Ä-Klassen machen kann, ist dass sie aus mindestens 2 Elementen besteht.
Nämlich der Ä-Klasse B(x) in der alle Elemente die nicht mit x in Relation stehen enthalten sind und einmal einer anderen Menge, die alle Elemente enthält, die zu x äquivalent sind.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Krinsekatze
Die einzige Aussage die ich jetzt über die Menge aller Ä-Klassen machen kann, ist dass sie aus mindestens 2 Elementen besteht.


Denk da noch einmal drüber nach. Die Antwort dafür hat eng mit der Frage zu tun, welche Elemente nicht in liegen.
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach weiterem Nachdenken bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass es bezüglich des x € X NUR 2 sind.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "bzgl x € X"? verwirrt
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Das fixierte Element meinte ich damit, aber ich habe gerade auch gemerkt dass es eine unnötige Bemerkung war smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also halten wir fest: falls es sich bei um eine Äquivalenzklasse handelt, dann gibt es maximal zwei Äquivalenzklassen (maximal, da sein kann, dann würde zu allen anderen Elementen äquivalent sein und wäre die einzige Äquivalenzklasse). Was ist also damit die Antwort auf die Frage?
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es ein x gibt, das zu allen anderen Elementen Äquivalent ist, gilt die Aussage nichtmehr, da B(x)= leer.
Somit ist die Aussage Falsch.

War das jetzt richtig gefolgert?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst jetzt Annahmen über ganz bestimmte Eigenschaften der Äquivalenzrelation, das darfst du aber nicht. Alles was du weißt ist, dass Äquivalenzrelation auf ist. Du musst genau umgekehrt argumentieren: damit eine Äquivalenzklasse ist, muss ... erfüllt sein. Da das nicht allgemein gültig ist für eine Äquivalenzrelation auf einer Menge , ist die Aussage falsch.
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaube ich habe es jetzt geblickt
Damit B(x) eine Äquivalenklasse ist, muss NICHT () erfüllt sein.
Und das muss ja nicht umbedingt der Fall sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das muss nicht erfüllt sein. Wo kommt überhaupt jetzt das her?

Die gesamte Begründung steht eigentlich schon in den vorherigen Beiträgen, du musst es jetzt nur noch einmal überdenken und korrekt zusammenfügen.

Nachtrag: muss natürlich erfüllt sein, damit das Element in der Menge liegt, das hat aber nur bedingt damit zu tun. Argumentiere wieder über die Anzahl der Äquivalenzklassen.
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

also im Moment weiß ich Folgendes:
es ist Logisch dass es 2 Äuquivalenzassen gibt, wenn alle elemente die zu x nicht äquivalent sind eine Klasse bilden
Aus deinen Beiträgen weiß ich noch, dass die Menge aller Elemente die nicht mit x in relation stehen auch leer sein kann.
D.h es gibt MAXIMAL 2 Äquivalenzassen.
Aber wie kann ich daras folgern, dass die Aussage falsch ist?
Wo hängts da bei mir?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt schon, dass es leere Äquivalenzklassen prinzipiell nicht gibt, da ja in der Äquivalenklasse eines Elements u zumindestens das Element u selbst liegt (aufgrund der Reflexevität einer Äquivalenzrelation)... Wenn also B(x) leer sein sollte, da die Klasse von x schon die ganze Grundmenge ist, so gibt es dann nur eine Äquivalenklasse...
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet also dass wenn es nur eine Äquivalenzklasse gibt, nämlich die in der sich x befindet wäre die Aussage falsch.
Und da es ja "für jedes x € X" in der Aussage heißt, ist diese somit falsch.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn wir haben ja schon festgestellt: Wenn die Äquivalenzrelation zufälligerweise genau 2 Äquivalenzklassen besitzt, dann wäre die Aussage, um die es hier geht, für sie richtig... Im allgemeinen - und nur darauf kommt es hier an und nicht auf irgendwelche Zufälligkeiten - ist dies aber nicht so...
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

ok aber warum ist es im Allgemeinen falsch?
Ich blick das einfach nicht.
DAs was du sonst gesagt hast ist mir klar. Wenn es 2 Ä-klassen gibt, ist die Aussage richtig. Aber wir wollen es ja ohne das "wenn" betrachten
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde deine erste Frage etwas umformulieren, so wie sie wirklich gemeint ist, vielleicht versteht du es dann besser:


Gilt für ausnahmslos jede Äquvalenzrelation auf der Menge , wobei X wiederum ganz beliebig sein kann, dass

1. Für jedes ist die Menge eine Äquivalenklasse von

2. ...

Du weisst ja schon lange, dass die Anwort zu 1. "nein" lautet, denn wenn z.B. die Menge B(x) leer ist, weil die Äquivalenzklasse von x die einzige Klasse ist, dann ist die Aussage falsch... Sobald du irgendeine Konstellation finden kannst, sodass die Aussage 1. falsch ist, ist sie dann auch im allgemeinen falsch... Das ist hier gemeint...
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

AHA smile Kann man das als Wenn...Dann Aussage formulieren? Nur so eine Frage die ich mir gerade gestellt habe
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
damit eine Äquivalenzklasse ist, muss ... erfüllt sein. Da das nicht allgemein gültig ist für eine Äquivalenzrelation auf einer Menge , ist die Aussage falsch.


Ersetze das "damit" durch ein "wenn", dann hast du deine gewünschte Aussage. Übrigens ist das auch schon die komplette Begründung, wenn du die ... ausfüllst.
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