Verteilung von ZVn

18.06.2012, 18:40

Gast11022013

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Verteilung von ZVn

Meine Frage:
Mal eine vermeintlich "blöde" Frage.

Angenommen, man hat einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ gegeben und zwei Messräume $\begin{eqnarray*} (\Omega_1,\mathcal{A}_1),(\Omega_2,\mathcal{A}_2) \end{eqnarray*}$ sowie zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X\colon\Omega\to\Omega_1,Y\colon\Omega\to\Omega_2 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}-\mathcal{A}_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}-\mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ -meßbar sind.

Sind dann nicht die Verteilungen sowohl von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , als auch von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ durch das P quasi festgelegt?

Also was ich meine: Müssen nicht beide Zufallsvariablen aufgrund der Definitionen zwangsläufig die gleiche Verteilung haben?

Meine Ideen:
Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ normalverteilt, dann bedeutet das ja:

X hat Werte in den reellen Zahlen und die Verteilung von X entspricht einer Normalverteilung.

Dann entspricht doch aber auch die Verteilung von Y einer Normalverteilung, oder?

19.06.2012, 11:22

Merlinius

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Nein, es wird ja nicht gesagt, dass X und Y gleich sein sollen. Beachte auch, dass hier nirgendwo gesagt wird, dass X P-verteilt ist (was auch i.A. nicht möglich ist).

Wenn man so will, gibt P vor, mit welchen Wahrscheinlichkeiten Ereignisse in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ auftreten. Das kann z.B. das n-malige Ziehen einer Zahl aus {0, ..., 9} sein (gleichverteilt), d.h. die Elementarereignisse sind n-Tupel.

Jetzt kann ich z.B. definieren $\begin{eqnarray*} X, Y: \Omega \rightarrow \mathbb R, X(\omega) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} \omega_i \end{eqnarray*}$ (arithmetisches Mittel) und $\begin{eqnarray*} Y(\omega) = X(\omega)+1 \end{eqnarray*}$

in diesem Fall sind X und Y eindeutig unterschiedlich verteilt, z.B. hat X = 0 positive Wahrscheinlichkeit, Y = 0 aber nicht.

Die Verwirrung kommt vielleicht daher, dass man später häufig nur noch die Zufallsvariablen betrachtet und direkt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZV angibt statt sie über einen zugrundeliegenden Ereignisraum zu definieren.

19.06.2012, 12:20

Gast11022013

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verwirrt

Das verstehe ich leider nicht.

Sei X normalverteilt. Bedeutet das nicht, wie gesagt: Die Verteilung von X entspricht einer Normalverteilung?

Die Verteilung von X ist doch aber das Bildmaß von P unter X, das ich schreibe als $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet doch: $\begin{eqnarray*} \forall A_1\in\mathcal{A}_1: P_X(A_1)=P(\left\{X\in A_1\right\}) \end{eqnarray*}$ und da dies nun einer Normalverteilung entsprechen soll, anscheinend:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{X\in A_1\right\})=\int_{X^{-1}(A_1)}f(\omega)\, d\omega \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die dazugehörige Dichte zu der Normalverteilung sei.

Wenn ich jetzt die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ansehe, also $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ , so gilt für diese doch dazu analog für alle $\begin{eqnarray*} A_2\in\mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P_Y(A_2)=P(\left\{Y\in A_2\right\})=\int_{Y^{-1}(A_2)}f(\omega)\, d\omega \end{eqnarray*}$

Daher würde ich halt sagen, daß Y auch normalverteilt ist.

Was mich verwirrt ist halt, daß beide Zufallsvariablen X und Y vom selben Wahrscheinlichkeitsraum (mit Wahrscheinlichkeitsmaß P) abbilden, dann müssten doch auch die Bildmaße beider Zufallsvariablen übereinstimmen...

Wo liegt denn mein Denkfehler?

19.06.2012, 13:19

Merlinius

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Darin, dass Du annimmst, dass Y die selbe Dichte hat wie X. Die Dichte von X bzw. Y hat erstmal nichts mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zu tun (bzw. nur indirekt).

Z.B. kann man einfach sagen $\begin{eqnarray*} X(\omega) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(\omega) = 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ . Das sind dann unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen.

Wenn wir z.B. reellwertige Zufallsvariablen betrachten, können wir (unter Umständen) eine Dichte angeben. Das ist dann aber eine Dichte für die Verteilung von X bzw. Y - in dem Fall bzgl. eines Maßes auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (und nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ).

Abgesehen davon kann man auch nicht zu jedem W-Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einfach eine normalverteilte Zufallsvariable "angeben". Angenommen der W-Raum ist schlichtweg

$\begin{eqnarray*} (\Omega = \{1\}, A = \mathfrak P(\{1\}), P = \end{eqnarray*}$ Zählmaß $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

(d.h. etwa, ich ziehe mit Wahrscheinlichkeit 1 jedes Mal die Kugel "1").

Dann kann ich natürlich keine normalverteilte Zufallsvariable aus diesem Experiment bauen.

Wenn man von Dichten und ...-verteilten Zufallsvariablen spricht, dann ignoriert man i.d.R. den zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum bei dieser Betrachtung. Man kann jedoch aus einem Wahrscheinlichkeitsraum verschiedene Zufallsvariablen (mit verschiedenen Dichten) erhalten.

19.06.2012, 13:50

Gast11022013

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Das heißt also Folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei $\begin{eqnarray*} (\Omega',\mathcal{A}') \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} X\colon\Omega\to\Omega' \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}-\mathcal{A'} \end{eqnarray*}$ messbare Zufallsvariable.

Dann ist ja $\begin{eqnarray*} (\Omega',\mathcal{A}',P_{X}) \end{eqnarray*}$ auch ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Nun erstmal zu dieser Aussage:

"Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer Normalverteilung entspricht."

Das bedeutet:

Man hat $\begin{eqnarray*} (\Omega',\mathcal{A}',P_{X})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_{X}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ entspricht einer Normalverteilung?

Das heißt $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ hat eine Dichte. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit eines $\begin{eqnarray*} B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ kann man mit dieser Dichte ausrechnen.

Man kann aber alternativ die Wahrscheinlichkeit dieses $\begin{eqnarray*} B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ auch über den "Umweg" über das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ausrechnen? Sprich: $\begin{eqnarray*} P_X(B)=P(X^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt richtig verstanden?

19.06.2012, 16:14

Merlinius

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Ja, das ist richtig.

Nur dass es natürlich eine seltene Kombination ist, sowohl ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zu definieren, die Verteilung von X als Normalverteilung zu kennen und gleichzeitig noch eine explizite Definition von X zu haben, mit der man dann über den Umweg $\begin{eqnarray*} P(X^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten bestimmt. Aber so errechnet sich die Verteilung von X über das W-Maß auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , das ist richtig.

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19.06.2012, 16:31

Gast11022013

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Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} (\Omega'',\mathcal{A}'') \end{eqnarray*}$ ein weiterer Messraum ist und $\begin{eqnarray*} Y\colon\Omega\to\Omega'' \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}-\mathcal{A}'' \end{eqnarray*}$ messbare Zufallsvariable.

Dann ist $\begin{eqnarray*} (\Omega'',\mathcal{A}'',P_Y) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Was ich jetzt nach Obigem nicht verstehe, ist Folgendes.

Dieses Maß $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ kann jetzt also irgendeine beliebige Form annehmen (verschieden von dem $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ ), sagen wir: Es ist wieder $\begin{eqnarray*} (\Omega'',\mathcal{A}'',P_Y)=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ entspreche irgendeiner stetigen Verteilung auf den reellen Zahlen, die verschieden von der ist, der $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ entspricht.

Dann kann ich also die verschiedenen $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ jeweils einmal über ihre jeweiligen Dichten berechnen - ich kann sie aber auch beide indirekt berechnen, indem ich (wie oben beschrieben) das auf das $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ zurückübertrage.

Dann ist meine Aussage, daß beide die gleiche Verteilung besitzen aber doch insofern richtig, dass man beide über das $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ berechnen kann, oder?

Das verwirrt mich ein bisschen! Einerseits können $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ grundverschieden sein - und andererseits kann man beide auf das gleiche $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ zurückbeziehen und damit berechnen...

Ist das wirklich so korrekt? verwirrt

verwirrt

19.06.2012, 16:48

Merlinius

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Das ist richtig. Aber die Verteilungen von X und Y hängen ja doch wiederum von den Definitionen ebendieser messbaren Funktionen ab - und die können völlig verschieden sein.

Die Verteilungen von X und Y entsprechen ja wie Du schon sagtest W-Maßen für die Bilder von X und Y. Mithilfe der Zuordnung eines Ereignisses $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ zu dessen Bild $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ respektive $\begin{eqnarray*} Y(\omega) \end{eqnarray*}$ lässt sich ein "Bild-Ereignis" messen, indem man es auf das Maß des Urbildes im Ereignisraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zurückführt. Allerdings kann man bei der Definition von X und Y frei entscheiden, welche Ereignisse mit welchen Bildern verknüpft werden (solange die Zuordnung messbar ist), daher kann ein einzelnes Bild $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ unter X bzw. Y unterschiedliche Wahrscheinlichkeit/Dichte besitzen.

Also kurz: $\begin{eqnarray*} X^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ muss nicht gleich $\begin{eqnarray*} Y^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ sein, daher kann A unter X respektive Y verschiedene Wahrscheinlichkeit haben.

19.06.2012, 17:08

Gast11022013

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Dass die Urbilder der ZV X und Y verschieden sein können und daher verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben können, ist mir klar.

Aber man benutzt doch beide Male das Wahrscheinlichkeitsmaß P, um den Urbildern Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

Darum geht es mir.

19.06.2012, 18:01

Merlinius

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Aber da die Verteilungen von X bzw. Y lediglich Aussagen über die Bilder treffen, können sie ja ebendrum verschieden sein, auch wenn die Grundräume identisch sind und dasselbe Wahrscheinlichkeitsmaß tragen.

19.06.2012, 18:47

Gast11022013

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Mit anderen Worten:

Wenn ich von einem Wahrscheinlichkeitsraum ausgehe, das Maß P hat, kann ich verschiedene Zufallsvariablen X und Y definieren.

Aber die Verteilungen von X und Y haben beide mit P zu tun. In dem Sinne ist man schon ein bisschen festgelegt.

------------------

Später sagt man dann einfach nur X sei so und so verteilt... Y sei so und so verteilt.

Aber wenn sie den gleichen Grundraum haben, können die Verteilungen von X und Y zwar verschiedene Ergebnisse liefern, aber beide haben mit P zu tun.

19.06.2012, 19:05

Merlinius

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Ja, zumindest ergeben sich aus dem Grundraum ggf. gewisse Einschränkungen. Wenn es etwa nur endlich viele oder abzählbar viele Ereignisse in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gibt, die positive Wkt. haben, kann natürlich auch X nur endlich viele bzw. abzählbar viele Werte mit positiver Wkt. annehmen und kann dann z.B. nicht absolut stetig verteilt sein.

19.06.2012, 19:09

Gast11022013

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Ich meinte es eher so, dass man in dem Sinne eingeschränkt ist, wenn man von einem Grundraum aus Zufallsvariablen definiert, dass deren Verteilungen alle mit P zu tun haben.

Ist P etwa eine Normalverteilung, können auch die Verteilungen von X und Y nur damit zu tun haben.

Weil die Verteilungen ja über die Wahrscheinlichkeiten der Urbilder definiert sind.

19.06.2012, 19:31

Merlinius

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Mhh, "damit zu tun haben" ist ein recht unbestimmter Begriff.

Z.B. kann X ja Bernoulli-verteilt sein, indem ich etwa sage $\begin{eqnarray*} X(\omega) = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \omega > \mu, X(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \omega \leq \mu \end{eqnarray*}$ .

So genau habe ich mir da aber auch noch keine Gedanken gemacht...

19.06.2012, 20:16

Gast11022013

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Es tut mir leid, wenn ich so dermaßen schwer von Begriff bin.

Aber ich komme an dem Punkt einfach immer noch nicht weiter!

Ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,A,P) \end{eqnarray*}$ und P sei ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß, wie auch immer.

Für mich ist es so:

Egal, wie ich jetzt Zufallsvariablen definiere, die von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in irgendeinen anderen Ergebnisraum abbilden.... IMMER ist doch die Verteilung einer solchen Zufallsvariable so, daß man $\begin{eqnarray*} P(X^{-1}(M)) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(Y^{-1}(N)) \end{eqnarray*}$ oder wie immer die Zufallsvariaben auch heißen mögen.

Also haben die Verteilungen dieser Zufallsvariablen, wie immer diese konkret definiert sein mögen und wie sehr sie sich auch unterscheiden, doch ALLE gemeinsam, dass ihre Verteilung in dem Sinne mit P zusammenhängt, dass man den Urbildern von Ereignissen Wahrscheinlichkeiten mit P zuweist.

-----------------

Fängt man andersherum an, dass man einfach sagt X sei so und so verteilt und Y sei so und so verteilt, weiß man also nichts über die Wahrscheinlichkeitsräume, aus den die Zufallsvariablen abbilden, weiß man sowas natürlich nicht.

----------------------

Ist das so korrekt oder wo ist denn der Wurm?...

19.06.2012, 21:23

Merlinius

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Ja, das ist korrekt so, würde ich sagen.

Nur ist die Aussage "X und Y sind beide über P definiert und hängen darüber irgendwie zusammen" nicht unbedingt besonders aufschlussreich.

Wähle ich z.B. folgenden Wahrscheinlichkeitsraum

$\begin{eqnarray*} (\Omega = (0, 1), \mathcal B((0,1)), R(0, 1)) \end{eqnarray*}$ (d.h. Rechteckverteilung auf (0, 1))

dann kann man davon ausgehend quasi alle möglichen Verteilungen modellieren durch geschickte Wahl von X.

Z.B. die Gleichverteilung auf {0, ..., n}, indem ich sage

$\begin{eqnarray*} X(w) = k \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} w \in [k/n, \frac{k+1}{n}) \end{eqnarray*}$ .

aber auch andere diskrete oder stetige Verteilungen wie die Binomialverteilung oder die Poissonverteilung, indem ich den Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ geeignet partitioniere.

19.06.2012, 21:58

Gast11022013

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Zitat:

Original von Merlinius
Ja, das ist korrekt so, würde ich sagen.

Nur ist die Aussage "X und Y sind beide über P definiert und hängen darüber irgendwie zusammen" nicht unbedingt besonders aufschlussreich.

Okay, es ist nicht aufschlussreich, weil Zufallsvariablen eben ganz unterschiedlich definiert sein können, d.h., selbst wenn sie vom selben Wahrscheinlichkeitsraum abbilden, können sie sich ja inhaltlich sehr unterscheiden.

Aber formal ist es doch so, daß all diese Zufallsvariablen gemeinsam haben, dass ihre Verteilungen letztlich darauf beruhen, dass man Urbildern nach dem gleichen Wahrscheinlichkeitsmaß des gleichen Ausgangsraums Wahrscheinlichkeiten zuordnet.

Aber inhaltlich ist das eben nicht aufschlussreich, weil diese Urbilder ganz was Anderes bedeuten können. So?

(Ich glaube, dann reicht es auch langsam.. Big Laugh

Big Laugh

)

20.06.2012, 12:04

Merlinius

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Jau

smile

20.06.2012, 12:15

Gast11022013

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Besten Dank für Deine Geduld!

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